第3章 STAGE 1

作図の約束と体

四則と √ で作れる長さ

🎯 ミッション

作図の約束（2点を通る直線・円・交点）を知り、長さ 1, a, b から a＋b, a−b, ab, a/b, √a を作図する方法と、その理由（相似・円周角）を説明しよう。体の定義を言えて、ℚ や mod 7 が体で、ℤ や mod 6 が体でない理由を説明できれば合格。

未達成

ねこ博士

この章のテーマは、古代ギリシャから伝わる3つの作図問題だ。角の三等分（どんな角でも3つの等しい角に分ける）、立方体倍積（体積がちょうど2倍の立方体の辺を作る）、円積問題（円と同じ面積の正方形を作る）。使ってよい道具は、目盛りのない定規とコンパスだけだ。中学で、角の二等分線を作図したね。どうやったかな？

うさ美

角の頂点 O を中心に円をかいて、2本の辺との交点を P, Q とします。P と Q をそれぞれ中心にして同じ半径の円をかき、その交点 R と O を結ぶと二等分線です。OP＝OQ、PR＝QR、OR は共通なので、三角形 OPR と OQR は3辺がそれぞれ等しくて合同になり、角がちょうど半分ずつになります。

ねこ博士

そう。作図の約束をはっきりさせておこう。できることは次の3つだけだ。
① すでにある2点を通る直線を引く（定規に目盛りはないので、長さは測れない）
② すでにある点を中心に、すでにある別の点を通る円をかく
③ 直線や円どうしの交点を、新しい点として使う
この約束の中で、60° の角を三等分してごらん。

うさ美

二等分ができたので、三等分も似た方法でできそうです。線分なら、平行線を使って三等分できます。そこで、O を中心とする円が2本の辺と交わる点を A, B として、弦 AB を三等分し、その2点と O を結んでみます。……でも、これでは角は等しくなりません。弦の真ん中の部分は、両端の部分よりも O に近いので、同じ長さの弦でも O から見た角は大きくなります。両端の2つの角は 20° より小さくなってしまいます。

ねこ博士

いいところに気づいたね。計算すると、両端の角は約 19.1°、真ん中の角は約 21.8° になる。二等分をくり返せば 30°, 15°, 7.5°, … は作れるけれど、20° はなかなか作れない。

作図板（60° の角を三等分できるか）。点 O, A, B（∠AOB＝60°）から始める。「直線を引く」では点を2つ、「円をかく」では中心の点と、円が通る点を順にタップする。直線や円を引くたびに、すべての交点が新しい点として加わる。赤い点線が目標の 20° の方向。たとえば A と B を中心に半径 AB の円を2つかき、その交点と O を結ぶと 30° の線が引ける。どんなに点を増やしても、ぴったり 20° の点は現れない

うさ美

二等分をくり返しても、60° を 2, 4, 8, … で割った角しか作れません。20° にするには 3 で割らなければいけないので、二等分だけでは届きません。でも、ほかの直線や円をうまく組み合わせれば、いつかできるかもしれません。

ねこ博士

多くの人がそう考えて、2000年以上も挑戦した。答えが出たのは1837年だ。フランスのヴァンツェルが、60° の角の三等分も立方体倍積も、定規とコンパスではできないことを証明したんだ。「できる」ことは、作図を1つ見せれば示せる。では、「できない」ことを示すには、どうすればいいと思う？

うさ美

ためした作図をいくら並べても、まだためしていない作図があるので、「できない」とは言えません。第1章の15パズルでは、どう動かしても変わらない「偶奇」に注目して、解けないことを証明しました。作図でも、作図できるものすべてに共通する性質を見つけて、20° の角がその性質をもたないことを示せばいい、ということですか？

ねこ博士

その通り。そのために、作図できる長さを全部まとめて1つの「数の世界」として扱う。その道具が、今日から学ぶ体（たい）だ。この章の終わりには、ギリシャの3つの問題に決着をつけ、どの正多角形が作図できるかを判定し、さらに QR コードが汚れても読める仕組みまで、同じ道具で説明できるようになる。

この章でできるようになること・定規とコンパスで作図できる長さが、四則演算（＋ − × ÷）と √ で作れる数であることがわかる
・割り算までできる数の世界「体」を、√ を足しながらひろげ、そのひろがり具合（次数）を測れる
・角の三等分と立方体倍積が不可能であることを、自分で証明できる
・正5角形が作図でき、正7角形が作図できない理由を説明できる。ガウスの正17角形の意味がわかる
・有限個の数でできた体を使って、QR コードの誤り訂正のしくみを説明できる

うさ美

第1章で、群という道具が15パズルの謎を解いたのと同じ流れですね。作図できる長さを全部まとめるなら、まず、どんな長さが作図できるのかを調べるところから始める、ということですか？

ねこ博士

そう。点を2つ決めて、その距離を長さ 1 とする。長さ a と b の線分があるとき、a＋b と a−b（ただし a＞b）はどう作るかな？

うさ美

直線上に長さ a の線分 OA をとり、A を中心に半径 b の円をかきます。円と直線の交点は2つあって、O から遠いほうの点までが a＋b、近いほうの点までが a−b です。

ねこ博士

うん。では、掛け算 ab はどうかな？使ってよいのは、長さ 1・a・b の線分と、平行線の作図と、相似な三角形だ。平行線は、垂線を2回引けば作図できるね。

うさ美

O から2本の半直線を引きます。1本目に OE＝1 と OB＝b、2本目に OA＝a をとります。E と A を結び、B を通って EA に平行な直線を引いて、2本目の半直線との交点を P とします。平行線の同位角は等しいので、三角形 OEA と OBP は相似です。相似比は OE：OB＝1：b なので、OP＝b×OA＝ab です。

ねこ博士

その通り。割り算 a/b（b＞0）はどうかな？

うさ美

今度は、1本目に OB＝b と OE＝1 をとり、B と A を結びます。E を通って BA に平行な直線を引き、2本目との交点を P とすると、三角形 OBA と OEP が相似です。OP：OA＝OE：OB＝1：b なので、OP＝a/b です。

作るもの

四則と √ の作図（a＝2、b＝1.5 の場合）。作るものを選び、「次へ」で1手ずつ進める。赤がいま引いた線や円、太い緑の線分ができあがった長さ。積と商は、平行線で相似な三角形を作るのがポイント。√a は、AB＝a と BC＝1 を並べた線分 AC を直径とする半円に、B で垂線を立てて作る

ねこ博士

よし。最後は √ だ。直線上に AB＝a、BC＝1 となるように点 A, B, C を並べ、AC を直径とする半円をかく。B で AC に垂線を立て、半円との交点を H とする。BH の長さを求めてごらん。

うさ美

直径に対する円周角は 90° なので、∠AHC＝90° です。三角形 ABH と三角形 HBC で、∠ABH＝∠HBC＝90° です。三角形 ABH の内角から ∠BAH＝90°−∠AHB、∠AHC＝90° から ∠BHC＝90°−∠AHB なので、∠BAH＝∠BHC。2つの角が等しいので相似です。BH：AB＝BC：BH から BH²＝AB×BC＝a×1＝a。BH＝√a です！

和と差：直線上の OA＝a の先に、A を中心に半径 b の円 → 交点までの長さが a＋b と a−b 積：OE＝1、OB＝b、OA＝a。B を通り EA に平行な直線 → 三角形 OEA と OBP は相似（相似比 1：b）→ OP＝ab 商：OB＝b、OE＝1、OA＝a。E を通り BA に平行な直線 → 三角形 OBA と OEP は相似（相似比 b：1）→ OP＝a/b √：AB＝a、BC＝1、AC を直径とする半円、B での垂線と半円の交点 H
∠AHC＝90°（直径に対する円周角）
三角形 ABH と HBC は相似 → BH：AB＝BC：BH → BH²＝a×1 → BH＝√a

ねこ博士

その通り。長さ 1 から始めると、足し算で 2, 3, 4, … が作れて、向きを逆にとれば負の数も作れる。割り算で 2/3 のような数も作れる。整数 m と 0 でない整数 n を使って m/n と書ける数を有理数といい、有理数全体を ℚ と書く。ℚ の数はすべて作図できるわけだ。そのうえ √ を何度でも組み合わせられるから、√2 や 1＋√3、√(1＋√2) も作図できる。

うさ美

作図できる長さどうしを足しても、引いても、掛けても、0 以外で割っても、また作図できる長さになります。第2章の環は、足し算・引き算・掛け算で閉じた数の世界でしたが、作図できる数の集まりは、割り算でも閉じています。

ねこ博士

そう、そこが大事なんだ。0 と 1 を含み、足し算・引き算・掛け算に加えて、0 以外の数での割り算でも閉じている数の世界を体（たい）という。第2章の言葉で言えば、「0 以外の数がすべて単数（掛けて 1 になる相手がいる数）である環」だ。なぜこう決めるかというと、作図できる長さの集まりが、ちょうどこの性質をもつからだ。それに、体の中なら a≠0 のとき ax＝b という方程式がいつでも x＝b/a と解けて、計算の途中で外に出ることがない。有理数全体 ℚ は体だね。整数全体 ℤ はどうかな？

うさ美

ℤ は環ですが、1 を 2 で割ると 1/2 になって、整数ではなくなります。2 に掛けて 1 になる整数はないので、ℤ は体ではありません。第2章のガウス整数 a＋bi も、1 を 2 で割れないので体ではありません。でも、a と b を有理数にした a＋bi なら、分母と分子に a−bi を掛ければ分母が有理数の a²＋b² になるので、割り算もできて体になりそうです。

ねこ博士

その通り。実数全体、複素数全体も体だ。では、第1章の mod の世界はどうかな。mod 7 と mod 6 で考えてごらん。

うさ美

mod 7 では、7 で割り切れない a に対して、第2章の互除法で ax＋7y＝1 となる整数 x, y が作れます。両辺を 7 で割った余りを比べると ax≡1 (mod 7) なので、x が a の逆数です。0 以外のどの数にも逆数があるので、mod 7 の世界は体です。mod 6 では 2×3＝6≡0 です。もし 2 に逆数 x があったら、3＝(x×2)×3＝x×(2×3)≡x×0＝0 となって矛盾します。だから mod 6 の世界は体ではありません。

mod n の n 7

mod n の世界で、逆数（掛けて 1 になる相手）があるか。上の段が 1 から n−1 までの数、下の段がその逆数。緑は逆数がある数、赤は逆数がない数。n が素数のときだけ全部が緑になり、mod n の世界は体になる。n が素数でないときは、n と共通の約数をもつ数に逆数がない

ねこ博士

その通り。p が素数なら mod p の世界は体になり、p が素数でなければ体にならない。mod p の体は、この章の最後で QR コードを説明するときの主役になる。ここで、体の定義と例をまとめておこう。

体（たい）0 と 1 を含み、足し算・引き算・掛け算と、0 以外の数での割り算について閉じている数の世界。言いかえると、0 以外の数がすべて単数である環。
・体の例：有理数全体 ℚ、実数全体、複素数全体、a と b が有理数の a＋bi 全体、mod 7 の世界（p が素数なら mod p の世界）
・体でない例：整数全体 ℤ（2 で割れない）、ガウス整数（2 で割れない）、mod 6 の世界（2 に逆数がない）

うさ美

作図できる数は、ℚ から始めて四則と √ で作れる数を全部含みます。でも逆に、作図できる数がすべて四則と √ で書けるかどうかは、まだ分かりません。円と円の交点のように、もっと複雑な数が出てくるかもしれません。

ねこ博士

いい質問だね。実は、作図で出てくる数は、すべて ℚ から四則と √ で作れる数なんだ。直線や円の交点を求める計算は、いちばん複雑でも2次方程式になるからね。このことは STAGE4 で確かめる。すると、作図の問題は数の問題に言いかえられる。

うさ美

60° の三等分は、半径 1 の円の上に 20° の方向の点を作ることなので、その横の座標 cos 20° が作れるかどうか。立方体倍積は、体積 2 の立方体の辺 ∛2 が作れるかどうか。どちらも「ℚ から四則と √ だけで書けるか」という問題になります。でも、√ を何重にも組み合わせた式は無限にあるので、全部を調べることはできません。

ねこ博士

そう。だから、ℚ に √ を1つずつ足して体をひろげていき、どれくらいひろがったかを「次数」という数で測る。次のステージでは、いちばん簡単な例として、ℚ に √2 を足した体を作ってみよう。

【このステージの成果】作図の約束：2点を通る直線、点を中心に別の点を通る円、交点だけが新しい点長さ 1, a, b から a＋b、a−b、ab、a/b（平行線と相似）、√a（半円と垂線、円周角と相似）が作図できる体：0 と 1 を含み、四則（0 以外での割り算も）で閉じた数の世界。0 以外がすべて単数の環体の例：ℚ、実数、複素数、mod p（ax＋py＝1 で逆数が作れる）。体でない例：ℤ、ガウス整数、mod 6 作図の問題は「その数が ℚ から四則と √ で作れるか」という数の問題になる。「できない」の証明には、作図できる数すべてに共通する性質を探す

確認クイズ

Q1. 長さ 1 と a の線分から √a を作図する方法は？

Q2. 次のうち、体であるものは？

Q3. 「60° の角は定規とコンパスで三等分できない」と証明するための方針として、正しいものは？

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