体をひろげる

前のステージで、作図できる数は、ℚ（有理数全体）から始めて四則と √ で作れる数だと分かった。∛2 や cos 20° が作図できないことを示すには、√ を1つ足すと数の世界がどれだけひろがるのかを、きちんと測る必要がある。今日は、いちばん簡単な例として ℚ に √2 を足してみよう。有理数と √2 を足し引き掛け算して、(1＋√2)² と (3−√2)(1＋2√2) を計算してごらん。

そう。足し算と引き算は、a どうし、b どうしをまとめればいいね。では割り算はどうかな。1/(1＋√2) を a＋b√2 の形にしてごらん。

その分母 a²−2b² が 0 になってしまうことはないかな？ a, b は有理数で、a＋b√2 は 0 でないとしよう。

その通り。だから、a と b を有理数とする a＋b√2 の形の数全体は、四則で閉じた体になる。これを ℚ(√2) と書く。一般に、体 K に数 α を加えて、K の数と α から四則で作れる数を全部集めた体を K(α) と書き、K をひろげた体（拡大体）と呼ぶ。こう決めるのは、作図で √ を1回使うことが、ちょうど「体に √ を1つ加える」ことにあたるからだ。いま確かめたのは、ℚ(√2) の数がすべて a＋b√2 の形をしている、ということだね。

いい質問だね。a＋b√2＝c＋d√2 で、(a, b) と (c, d) が違うとしてごらん。

その通り。ℚ(√2) のどの数も、1 と √2 の2つを使って「a×1＋b×√2」とただ1通りに書ける。このように、ひろげた体 L のどの数も、いくつかの数 u₁, u₂, … を使って「K の数×u₁＋K の数×u₂＋…」とただ1通りに書けるとき、u₁, u₂, … を L の K 上の基底（きてい）と呼び、その個数を拡大の次数といって [L：K] と書く。[ℚ(√2)：ℚ]＝2 だ。

それが理由なんだ。1, √2, 3＋√2 を使うと、3＋√2 は「1×(3＋√2)」とも「3×1＋1×√2」とも書けて、書き方が何通りもできる。むだな数が混じると、個数が水増しされてしまう。「ただ1通り」を条件にすれば、むだのない組だけを数えることになって、次数は体そのものの大きさを表す数になる。ℚ の数は1つの有理数で決まるから、ℚ を直線にたとえると、ℚ(√2) は2つの有理数で決まる平面のようなものだね。

そう。だから、加える数がすでに体に入っているかどうかを確かめることが大事になる。では、ℚ(√2) にさらに √3 を加えることを考えよう。√3 は ℚ(√2) に入っているかな？ √3＝a＋b√2（a, b は有理数）と書けたとして、矛盾を導いてごらん。

よく確かめたね。すると、K＝ℚ(√2) を出発点にして、K に √3 を加えた体 K(√3) が作れる。これを ℚ(√2, √3) と書く。K の数を係数にした x＋y√3（x, y は K の数）が体になる理由は、さっきの √2 の話と同じだ。分母の x²−3y² が 0 にならないのは、√3 が K に入らないからだね。だから [ℚ(√2, √3)：ℚ(√2)]＝2。では、ℚ(√2, √3) の数を、有理数だけを係数にして書くとどうなるかな？

そう。ただ1通りかどうかは、2つの書き方が同じ数になったとして、その差を考えるといい。差をとると、「a＋b√2＋c√3＋d√6＝0 なら a＝b＝c＝d＝0」を示せば十分だ。

その通り。2 倍にひろがった体を、さらに 2 倍にひろげたから、全体は 4 倍になった。次数がこのように掛け算になることは STAGE4 でくわしく調べる。体の中では割り算も自由にできるから、思わぬ数が入っていることもある。ℚ(√2＋√3) にはどんな数が入っているか、調べてごらん。

そう。体をひろげるときは、何を加えたかより、どれだけひろがったかが大事なんだ。では、立方体倍積の ∛2 を加えた体 ℚ(∛2) はどうなるかな？

いいところに気づいたね。√ のときは「2乗すると有理数」を使えたけれど、∛ ではそうはいかない。次のステージでは、多項式の割り算という道具を作って、ℚ(∛2) の割り算と次数を求めよう。