第3章 STAGE 3

多項式の世界

最小多項式と次数

🎯 ミッション

多項式の余りのある割り算を筆算で実行し、互除法で 1/(1＋∛2) を計算しよう。最小多項式が既約であること、ℚ(α) の次数が最小多項式の次数に等しいことを説明し、有理根の判定で x³−2 が既約であることを示せれば合格。

未達成

ねこ博士

前のステージで、ℚ(∛2) では 1/(1＋∛2) のような割り算を分母の有理化だけでは整理できない、と分かった。α＝∛2 とおくと、α から四則で作った数は「x に α を入れた式の値」になる。だから、x の式そのものを計算の対象にすれば、ℚ(α) の割り算も、次数も求められるんだ。今日の道具は多項式だ。2x³＋x²−5x＋4 のように、x の累乗に数を掛けて足した式のことで、x の指数のいちばん大きいものを、その多項式の次数という。この章では、係数が有理数の多項式を考える。

うさ美

多項式どうしは、足しても引いても掛けても、また多項式になります。だから多項式全体は環です。でも、1 を x で割った 1/x は多項式ではないので、体ではありません。整数全体 ℤ と同じ立場です。第2章では、整数の素因数分解や互除法の土台に「余りのある割り算」がありました。多項式でも、余りのある割り算ができるんですか？

ねこ博士

できるんだ。多項式 f を、0 でない多項式 g で割ると、f＝q×g＋r と書けて、余り r の次数を g の次数より小さくできる。整数で「余りが割る数より小さい」と言っていたところを、「余りの次数が割る数の次数より小さい」に置きかえるわけだ。やり方は、いちばん次数の高い項を消すように商を決めていく。(2x³＋x²−5x＋4)÷(x²＋x−1) で、まず 2x³ を消すには、x²＋x−1 に何を掛ければいいかな？

うさ美

2x³÷x²＝2x なので 2x を掛けます。2x(x²＋x−1)＝2x³＋2x²−2x を引くと、(2x³＋x²−5x＋4)−(2x³＋2x²−2x)＝−x²−3x＋4。次は −x² を消すために −1 を掛けて、−(x²＋x−1)＝−x²−x＋1 を引くと、−2x＋3。次数が 1 になって、割る式の次数 2 より小さいので止まります。商は 2x−1、余りは −2x＋3 です。

割り算

多項式の割り算の筆算。列は x³, x², x, 定数の項（x⁴ がある式ではその列も）をそろえて並べている。「次へ」で1手ずつ進む。いちばん次数の高い項を消すように商の項を決め、割る式に掛けたもの（青）を引く。残った式（赤）の次数が割る式の次数より小さくなったら、それが余り

ねこ博士

その通り。この筆算は、整数の割り算の筆算とそっくりだね。1つ大事な使い方がある。f(x) を x−r で割ると、余りはどうなるかな？

うさ美

x−r の次数は 1 なので、余りの次数は 0、つまり定数 c です。f(x)＝(x−r)q(x)＋c に x＝r を入れると、f(r)＝0×q(r)＋c＝c。余りは f(r) です。だから、f(r)＝0 のときは余りが 0 で、f(x) は x−r で割り切れます。

多項式の余りのある割り算：f＝q×g＋r、ただし r の次数は g の次数より小さい（または r＝0）例：2x³＋x²−5x＋4＝(2x−1)(x²＋x−1)＋(−2x＋3) x−r で割ると：f(x)＝(x−r)q(x)＋c。x＝r を入れて c＝f(r) f(r)＝0 なら、f(x) は x−r で割り切れる

ねこ博士

そう。では、ℚ(∛2) の計算に使おう。α＝∛2 は α³−2＝0 をみたす。α⁴＋α＋1 のように α の累乗が入った数は、x⁴＋x＋1 を x³−2 で割って考えるといい。

うさ美

x⁴＋x＋1＝x(x³−2)＋3x＋1 です。x に α を入れると α³−2＝0 なので、α⁴＋α＋1＝α×0＋3α＋1＝3α＋1。どんな多項式 f でも、x³−2 で割った余りは2次以下なので、f(α) は a＋bα＋cα²（a, b, c は有理数）の形になります。

ねこ博士

その通り。次は割り算だ。1/(1＋α) を求めたい。第2章で、互除法を逆にたどって ax＋py＝1 を作ったね。それと同じことを多項式でやってみよう。x³−2 を x＋1 で割ってごらん。

うさ美

x³−2＝(x＋1)(x²−x＋1)−3 です。移項すると 3＝(x＋1)(x²−x＋1)−(x³−2)。x に α を入れると α³−2＝0 なので、3＝(1＋α)(α²−α＋1)。両辺を 3(1＋α) で割ると、1/(1＋α)＝(α²−α＋1)/3。確かめると、(1＋α)(α²−α＋1)＝α³＋1＝3 で合っています。第2章の ax＋py＝1 と同じ形です！

x³−2＝(x＋1)(x²−x＋1)−3（筆算の結果） 3＝(x＋1)(x²−x＋1)−(x³−2)（移項して、ax＋py＝1 と同じ形にする） x＝α＝∛2 を入れると α³−2＝0 なので 3＝(1＋α)(α²−α＋1) 1/(1＋∛2)＝(∛4−∛2＋1)/3

ねこ博士

よくできたね。いまは x＋1 と x³−2 に共通の因数がなかったから、互除法の最後に定数が出てきた。いつもそうなることを保証するのが、素数にあたる多項式だ。次数 1 以上の多項式で、次数の低い2つの多項式（係数は有理数）の積に書けないものを既約多項式（きやくたこうしき）という。第2章の既約元の多項式版だね。0 でない定数は掛けて 1 になる相手がいる単数なので、分けたうちに数えない。たとえば x²−1＝(x−1)(x＋1) は既約でない。ここで、多項式に入れると値が 0 になる数を、その多項式の根（こん）と呼ぶことにしよう。x²−1 の根は 1 と −1 だ。x²−2 はどうかな？

うさ美

x²−2 を1次式2つに分けると、x²−2＝(x−r)(x−s) の形になって、r は x²−2 の根なので r＝±√2 です。√2 は有理数ではないので、有理数の係数では分けられません。x²−2 は既約です。でも、√2 も係数に使ってよければ (x−√2)(x＋√2) と分けられます。どの体の数を係数にするかで、既約かどうかが変わるんですね。

ねこ博士

そう。第2章で、2 が整数では既約元なのにガウス整数では (1＋i)(1−i) と分けられたのと同じだ。2次や3次の多項式なら、既約かどうかはもっと簡単に判定できる。理由を考えてごらん。

うさ美

2次式や3次式を、次数の低い2つの多項式に分けると、次数は 1＋1 か 1＋2 なので、必ず1次式が混じります。1次式 ax＋b（a≠0）は x＝−b/a で 0 になるので、もとの式は有理数の根をもちます。逆に、有理数の根 r があれば x−r で割り切れます。つまり、2次式・3次式は、有理数の根がないとき、そのときに限って既約です。

ねこ博士

その通り。ただし 4 次以上では、この判定は使えない。x⁴＋4 は有理数の根をもたない（x⁴＋4 はいつも 4 以上）のに、2次式2つに分けられるんだ。(x²＋2x＋2)(x²−2x＋2) を展開してごらん。

うさ美

x⁴−2x³＋2x²＋2x³−4x²＋4x＋2x²−4x＋4＝x⁴＋4。本当に分けられました。4次式は、1次式を含まずに 2＋2 と分かれることがあるんですね。

ねこ博士

そう。では、この章で大事な定義をしよう。α を根にもつ有理数係数の多項式のうち、次数がいちばん低く、いちばん高い次数の項の係数が 1 のものを、α の最小多項式という。α がみたす「いちばん簡単な式」だ。こう決めるのは、ℚ(α) の中の計算が、すべてこの式で決まるからなんだ。たとえば √2 の最小多項式は x²−2。1次式 x−r だと r＝√2 が有理数になってしまうからね。最小多項式は必ず既約になる。理由を説明してごらん。

うさ美

最小多項式 m が、次数の低い2つの多項式の積 g×h に分けられたとします。m(α)＝g(α)h(α)＝0 です。もし g(α)≠0 なら、体の中では g(α) で割れるので h(α)＝0 になります。どちらにしても、m より次数の低い多項式が α を根にもってしまい、m の次数がいちばん低いことに反します。だから最小多項式は既約です。

ねこ博士

その通り。逆に、α を根にもつ既約多項式 p があれば、p は最小多項式の定数倍になる。p を最小多項式 m で割って p＝q×m＋r とすると、r(α)＝p(α)−q(α)m(α)＝0 で、r の次数は m より低いから、r は 0 でなければならない。すると m は p を割り切るけれど、p は既約だから、p は m の定数倍しかない。では、∛2 の最小多項式は何かな？

うさ美

x³−2 は ∛2 を根にもつ3次式です。有理数の根 r があったら r³＝2 です。r＝p/q（整数）なら p³＝2q³ ですが、素因数分解すると左辺の 2 の個数は 3 の倍数、右辺の 2 の個数は「3 の倍数＋1」なので、ありえません。有理数の根がない3次式なので x³−2 は既約で、∛2 の最小多項式は x³−2 です。

ねこ博士

よし。最後の仕上げだ。ℚ(∛2) の数は a＋bα＋cα² の形に書けると分かった。これがただ1通りかどうかを確かめてごらん。

うさ美

2通りに書けたとして差をとると、a＋bα＋cα²＝0 で、a, b, c のどれかが 0 でない形になります。すると α は 2次以下の多項式 a＋bx＋cx² の根になって、最小多項式 x³−2 の次数 3 がいちばん低いことに反します。だから書き方はただ1通りで、1, α, α² が基底です。[ℚ(∛2)：ℚ]＝3。最小多項式の次数と、体の次数が同じ 3 になりました。

最小多項式と次数・既約多項式：次数の低い2つの多項式の積に書けない多項式（素数・既約元にあたる）
・2次式・3次式は、有理数の根がない ⇔ 既約（4次以上では成り立たない：x⁴＋4＝(x²＋2x＋2)(x²−2x＋2)）
・α の最小多項式：α を根にもつ有理数係数の多項式のうち、次数がいちばん低く、最高次の係数が 1 のもの。必ず既約で、α を根にもつ既約多項式はその定数倍
・[ℚ(α)：ℚ]＝α の最小多項式の次数（最小多項式の次数を n とすると、基底は 1, α, α², …, αⁿ⁻¹）
・例：√2 → x²−2（次数 2）、∛2 → x³−2（次数 3）

ねこ博士

「次数」という言葉が、多項式の次数と体の次数の2つの意味で出てきたけれど、α については2つがいつも一致する。これからは、α の最小多項式の次数を、単に「α の次数」と呼ぼう。次数を求めるには、最小多項式を見つけて、それが既約だと確かめればいい。3次式の既約性は有理数の根があるかどうかで決まるけれど、有理数は無限にあるから、全部は試せない。そこで、根の候補をしぼる方法がある。整数係数の3次式 ax³＋bx²＋cx＋d が、既約分数 p/q を根にもつとしよう。両辺に q³ を掛けてごらん。

うさ美

a(p/q)³＋b(p/q)²＋c(p/q)＋d＝0 に q³ を掛けると、ap³＋bp²q＋cpq²＋dq³＝0。dq³＝−p(ap²＋bpq＋cq²) なので、p は dq³ を割り切ります。p と q は共通の素因数をもたないので、p の素因数はどれも q³ を割り切りません。第2章の「素数は素元」から、p の素因数は d を割り切り、p は d を割り切ります。同じように ap³＝−q(bp²＋cpq＋dq²) から、q は a を割り切ります。p は定数項 d の約数、q は最高次の係数 a の約数です。

既約分数 p/q が ax³＋bx²＋cx＋d＝0（係数は整数）の根だとする q³ を掛ける：ap³＋bp²q＋cpq²＋dq³＝0 dq³＝−p(ap²＋bpq＋cq²) → p は dq³ を割り切り、q とは共通の素因数がない → p は d の約数 ap³＝−q(bp²＋cpq＋dq²) → 同じ理由で q は a の約数 例：x³−3x−1 の有理数の根の候補は ±1 だけ。1−3−1＝−3、−1＋3−1＝1 でどちらも根でない → 既約

有理数の根の候補を調べる。3次式のグラフと、有理数の根の候補（±（定数項の約数）/（最高次の係数の約数））を x 軸上に並べた。候補での値が 0 なら緑、0 でなければ赤。x³−2 と x³−3x−1 は、グラフが x 軸と交わる点（実数の根）はあっても、候補はすべて赤なので有理数の根がなく、既約。x³−3x＋2 と 2x³−3x²＋1 は候補の中に根があり、既約でない

ねこ博士

その通り。最後に、整数と多項式の対応を整理しておこう。整数では、素数 p で割った余りの世界 mod p が体になった。多項式でも同じことが起きる。ℚ(∛2) の計算は、「多項式を x³−2 で割った余りで計算する」ことだったね。x³−2 が既約だから、互除法で逆数が作れて、余りの世界が体になったんだ。

整数と多項式の対応。多項式の世界は、整数の世界とほとんど同じしくみで動いている。いちばん下の2行が今日の要点で、素数で割った余りの世界 mod p が体になるように、既約多項式 x³−2 で割った余りの世界（ℚ(∛2) の計算）も体になる

うさ美

ℚ(∛2) の数 a＋b∛2＋c∛4 は、3次式で割った余り a＋bx＋cx² のことで、mod p の数が 0 から p−1 までの余りだったのと同じなんですね。1/(1＋∛2＋∛4) なら、(x−1)(x²＋x＋1)＝x³−1＝(x³−2)＋1 なので、x に ∛2 を入れて (∛2−1)(1＋∛2＋∛4)＝1。答えは ∛2−1 です。

ねこ博士

そう。これで、数 α の次数を最小多項式から求められるようになった。次のステージでは、√ を何回も加えたときに次数がどうなるかを調べて、作図できる数の次数がどんな数になるのかを突き止めよう。

【このステージの成果】多項式も余りのある割り算ができる：f＝q×g＋r（r の次数＜g の次数）。x−r で割った余りは f(r) 互除法で 3＝(x＋1)(x²−x＋1)−(x³−2) → 1/(1＋∛2)＝(∛4−∛2＋1)/3 既約多項式は素数にあたる。2次・3次式は有理数の根がなければ既約（4次以上は別：x⁴＋4 は分けられる）有理数の根 p/q は、p が定数項の約数、q が最高次の係数の約数。x³−2、x³−3x−1 は既約最小多項式：α を根にもつ次数最小の多項式。必ず既約。[ℚ(α)：ℚ]＝最小多項式の次数。[ℚ(∛2)：ℚ]＝3

確認クイズ

Q1. (x³−2)÷(x＋1) の商と余りは？

Q2. 3次式 2x³−3x²＋1 の有理数の根の候補として、有理根の判定で考えればよいものは？

Q3. ∛2 の次数（[ℚ(∛2)：ℚ]）が 3 である理由は？

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