次数の掛け算

いよいよ、作図できる数に共通する性質を突き止める。作図できない数を見分けるために、2つのことを示したい。1つは、「作図の1手で、体は次数 1 か 2 しかひろがらない」こと。もう1つは、「体を何段階かひろげたとき、全体の次数は各段の次数の掛け算になる」こと。2つ目から始めよう。STAGE2 で、ℚ(√2, √3) の基底を作ったね。どうやって作ったかな？

そう。これがいつでも成り立つことを示そう。体が K ⊂ M ⊂ L と3段に重なっているとする。M の K 上の基底を u₁, …, uₘ（m 個）、L の M 上の基底を v₁, …, vₙ（n 個）とする。u と v を1つずつ掛けた m×n 個の数 uᵢvⱼ が、L の K 上の基底になることを確かめたい。まず、L のどの数も「K の数×uᵢvⱼ」の和で書けることを示してごらん。

その通り。次は「ただ1通り」だ。STAGE2 と同じように、全部足して 0 になるなら係数 xᵢⱼ がすべて 0 になる、を示せばいい。足し算の順番を工夫してごらん。

よし。式の中の Σ は「全部足す」という記号で、ここでは書き方を短くするためだけに使った。この法則を使うと、√ を次々に加えていったときの次数がすぐに分かる。√ を1つ加えるたびに、次数はどう変わるかな？

そう。では1つ目の、作図の1手で何が起きるかを調べよう。はじめにある点は (0, 0) と (1, 0) で、座標は有理数だ。いま、ここまでに作った点の座標が、すべてある体 K（実数の中の体）に入っているとしよう。K の点を2つ通る直線の式は ax＋by＝c、K の点を中心にして K の点を通る円の式は (x−p)²＋(y−q)²＝r² と書けて、a, b, c, p, q, r² はどれも K の数になる。まず、2本の直線の交点の座標はどんな数かな？

その通り。では、直線と円の交点は？

そう。最後に、2つの円の交点は？

よく分かったね。点を1つ作るたびに、その点の座標が入るように体を1段ずつひろげていくと、ℚ＝K₀ ⊂ K₁ ⊂ K₂ ⊂ … ⊂ Kₙ という体の塔ができて、各段の次数は 1 か 2 になる。どれだけ複雑な作図でも、交点を1つずつ作っていくのだから、作った点の座標はすべていちばん上の Kₙ に入る。Kₙ の ℚ 上の次数はどうなるかな？

そう。最後の一歩だ。作図できる数 α は Kₙ に入っているから、ℚ ⊂ ℚ(α) ⊂ Kₙ と並ぶ。Kₙ を ℚ(α) をひろげた体と見ても、基底はとれる（ℚ 上の基底から、むだなものを取り除いていけばいい）。α の次数について何が言えるかな？

これで、STAGE1 で約束したことも確かめられた。作図で出てくる座標は、ℚ から四則と √ を1つずつ加えていった体に入る。つまり、作図できる数は ℚ から四則と √ で作れる数とぴったり同じなんだ。実際に、点を増やしてみよう。(0, 0) と (1, 0) の2点から1手目で、2点を通る直線を1本、2つの円をかく。どんな点ができるかな？

そう。3回目まで続けると、点の数は 17 億個を超えることが計算機で確かめられている。それでも、どの点の座標も、√ を1つずつ加えた体の数で、次数は 2 の累乗だ。ただし注意しておくと、次数が 2 の累乗なら必ず作図できる、とまでは言えない。次数が 4 なのに作図できない数もあって、それを見分けるには第4章のガロア理論が必要になる。でも、「できない」ことを示すには、今日の判定法だけで十分なんだ。

その通り。2000年以上の謎が、もう手の届くところにある。次のステージで、立方体倍積と角の三等分に決着をつけよう。