解けない作図

前のステージで、作図できる数の次数は必ず 2 の累乗だと分かった。いよいよ、ギリシャの作図問題に決着をつけよう。まずは立方体倍積だ。古代ギリシャには、疫病を鎮めるために「デロス島のアポロンの祭壇（立方体）を2倍の大きさにせよ」というお告げが下った、という言い伝えがあって、「デロスの問題」とも呼ばれる。1辺 1 の立方体の、ちょうど2倍の体積をもつ立方体の1辺を作図できるかな？

その通り。これが1837年にヴァンツェルが示したことだ。2000年以上の問題が、次数の計算だけで片づいた。次は角の三等分だ。まず、三等分できる角もあることを確かめておこう。90° の三等分はできるかな？

そう。だから「角の三等分は不可能」というのは、「どんな角でも三等分できる方法はない」という意味だ。それを示すには、三等分できない角を1つ見せればいい。60° の三等分、つまり 20° の角が作れるかを調べよう。半径 1 の円の上に 20° の方向の点を作ることは、その横の座標 cos 20° を作ることと同じだった。cos 20° がみたす方程式を作りたい。手がかりは、cos 3θ を cos θ で表す式だ。複素数の掛け算は「長さを掛けて、角度を足す」だったね。それを使って (cos θ＋i sin θ)³ を2通りに計算してごらん。

よく導けたね。公式は、知っている角で確かめておくと安心だ。θ＝30° で両辺を計算してごらん。

そう。では θ＝20° を入れてみよう。cos 60°＝1/2 だから、x＝cos 20° はどんな方程式をみたすかな？

そう。y＝2cos 20° と x＝cos 20° は、2 を掛けたり割ったりするだけで行き来できるから、ℚ(x)＝ℚ(y) で、次数は同じだ。結論はどうなるかな？

いいところに気づいたね。この方程式には根が3つあって、cos 20° のほかに cos 140° と cos 260° も根だ。3倍すると 420° と 780° で、どちらも 360° の倍数を引けば 60° になるからね。方程式からは、この3つを区別できない。では、90° の三等分がうまくいく理由を、同じ方法で確かめてごらん。

その通り。最後に円積問題だ。半径 1 の円の面積は π だから、同じ面積の正方形の1辺は √π になる。√π が作図できれば、それを2乗した π も作図できるはずだね。

それが答えなんだ。1882年に、ドイツのリンデマンが「π は、有理数を係数とするどんな多項式の根にもならない」ことを証明した。こういう数を超越数（ちょうえつすう）という。最小多項式がないのだから、次数が 2 の累乗の体の塔のどこにも入らない。だから √π も π も作図できず、円積問題も不可能だ。この証明は高度なので、ここでは事実として受け取っておこう。こうして、ギリシャの3つの作図問題は、1837年と1882年に、すべて「不可能」という答えで決着したんだ。

そう。実際、アルキメデスは、定規に2つの印をつけて動かす方法で、どんな角でも三等分できることを知っていた。印のついた定規は、約束の外の道具だから、矛盾はしない。大事なのは、決められた道具で何ができて何ができないかを、数の世界の大きさとしてきちんと言えるようになったことだ。次のステージでは、同じ道具で、どの正多角形が作図できるかを調べよう。ガウスが19歳を前にして見つけた、正17角形の話も出てくる。

その通り。cos 72° がどんな方程式をみたすか、複素数を使って見つけるところから始めよう。