解の公式の歴史

いよいよ最後の章だ。第1章から第3章で、群・環・体という3つの道具をそろえてきた。この章では、それを全部使って、数学の歴史に残る大きな謎を解く。まず、中学で学んだ2次方程式の解の公式を思い出してごらん。

そう。解の公式のよいところは、方程式ごとに工夫しなくても、係数を入れるだけで解が出てくることだ。ここで「解の公式」の意味をはっきりさせておこう。係数から、足し算・引き算・掛け算・割り算と、「何乗根か」をとる操作だけを、有限回使って解を書き表す式のことだ。n 乗して a になる数を a の n 乗根といい、√ は2乗根、∛ は3乗根だね。こうした「何乗根」をまとめてべき根と呼ぶ。そして、ある方程式の解がすべて、係数からこのやり方で書けるとき、その方程式はべき根で解けるという。

ある。2次方程式の解き方は、紀元前1800年ごろのバビロニアの粘土板にすでに書かれている。3次方程式は、16世紀のイタリアで解かれた。1545年、カルダノが『アルス・マグナ（偉大な術）』という本で3次方程式の公式を発表し、同じ本に弟子のフェラーリが見つけた4次方程式の解き方も載せた。ところが、5次方程式の公式は、そこから300年近く、だれにも見つけられなかったんだ。たとえば x⁵−6x＋3＝0 のような、見た目は簡単な方程式でもだ。

そう、解はある。1799年にガウスが、どんな n 次方程式にも、複素数の中に解が n 個（重なりも数えて）あることを示した。x⁵−6x＋3＝0 にも解は5個あって、計算機を使えば 0.5055… のように、いくらでも細かく近似できる。ないのは「解」ではなく、解を係数からべき根で書き表す式のほうなんだ。同じ5次でも、x⁵−1＝0 の5つの解は正5角形の頂点にあたる複素数で、第3章で求めた cos 72°＝(√5−1)/4 を使うと √ だけで書ける。一方、x⁵−6x＋3＝0 の解は、べき根では書けない。いくつかの方程式で、解の書き方を比べてみよう。

そこがこの章の中心だ。「できない」ことの証明は、これまでの章でも2回やったね。15パズルの 14 と 15 の入れ替えは、置換の偶奇で不可能だと分かった。角の三等分は、拡大の次数が 2 の累乗にならないことで不可能だと分かった。どちらも、「どう工夫しても変わらない量」をつかまえて、それで判定した。方程式の場合、それにあたるのが解どうしの入れ替えがつくる群なんだ。これを見つけたのがガロアだ。

値が分からなくても、解に α, β, γ, … と名前をつけて、名前を入れ替えることはできる。そして、入れ替えても変わらない式・変わる式を調べるんだ。まずはいちばん簡単な2次方程式で、解の公式がどう作られるかを自分の手で確かめよう。ax²＋bx＋c＝0（a≠0）を、両辺を a で割ってから、左辺が「何かの2乗」になるように変形してごらん。これを平方完成という。

その通り。では、＋のほうの解を α、−のほうの解を β として、α＋β と αβ を計算してごらん。

そう。これを解と係数の関係という。逆の向きからも見てみよう。α と β が解なら、ax²＋bx＋c は a(x−α)(x−β) と因数分解できる。これを展開すると？

いいところに気づいたね。係数は、2つの解を入れ替えても変わらない式で書けている。一方、解の公式の中で2つの解を区別しているのは、± の符号だけだ。2つの解は、√ の符号を変えるだけで入れ替わる。b と c を動かして確かめてみよう。

そう。ここまでが2次方程式の話だ。最後に、この謎を解いた人のことを少し話しておこう。5次方程式に解の公式がないことは、1824年にノルウェーのアーベルが証明していた。そのあとに現れたのがエヴァリスト・ガロアだ。1811年にフランスで生まれた。10代で方程式の研究を始め、論文を科学アカデミーに何度も送ったが、なくされたり、「よく分からない」と返されたりして、認められなかった。そして1832年5月30日、20歳で決闘に臨み、翌日亡くなった。その前の晩、友人シュヴァリエにあてて、自分の理論の要点を書き残したんだ。

いい質問だね。アーベルが示したのは、「どんな5次方程式にも使える公式はない」ということだ。ガロアは、1つ1つの方程式について、べき根で解けるかどうかを見分ける方法を作った。x⁵−1 は解けて、x⁵−6x＋3 は解けない。その違いを、解の入れ替えの群の形で説明したんだ。ガロアの手紙と論文は、1846年にリウヴィルが雑誌に載せて、ようやく世に知られた。

そう。次のステージでは、入れ替えで変わらない式が係数で書けることを確かめ、2次方程式の解の公式を「入れ替え」の見方で作り直す。その見方が、3次方程式を解く道具になるんだ。