解を入れ替える

前のステージで、係数は解を入れ替えても変わらない式 α＋β, αβ で書けると分かった。今日はこれを逆から使う。入れ替えで変わらない式は、解を知らなくても係数から計算できる。この事実と、入れ替えで「少しだけ」変わる式を組み合わせると、解の公式が作れるんだ。3次方程式を解くための作戦の土台になる。まず、解 α, β をどう入れ替えても変わらない式を対称式と呼ぶ。α＋β と αβ は対称式だね。α²＋β² を α＋β と αβ で書いてごらん。

そう。α³＋β³ や 1/α＋1/β ではどうかな？

いい質問だね。2つの解のときは、全部確かめられる。対称式を項ごとに見ると、α⁵β² があれば、入れ替えた α²β⁵ も同じ係数で入っているはずだ。この2つの組は (αβ)²(α³＋β³) とまとめられる。だから、αⁿ＋βⁿ がどれも α＋β と αβ で書ければいい。(α＋β)(αⁿ⁻¹＋βⁿ⁻¹) を展開してごらん。

その通り。解が3つ以上でも同じことが成り立つ。どんな対称式も、解と係数の関係に出てくる式の足し算・引き算・掛け算で書ける。これを対称式の基本定理という。では、対称式でない式はどうなるか。α−β で、α と β を入れ替えてごらん。

そう。分子の D＝b²−4ac を判別式という。D は (α−β)² を係数で書いたもの（の a² 倍）なんだ。ここまでで、解の公式を作る材料がそろった。α＋β は係数で分かる。α−β は、2乗すれば係数で分かる。α を求めてごらん。

この手順を「入れ替え」の言葉で言い直そう。最初、係数から分かるのは、対称式、つまり「何もしない」と「α と β の入れ替え」の2つの操作の両方で変わらない式だけだった。√D を1つ使えるようにすると、α−β が分かる。α−β を変えない操作は「何もしない」の1つだけだ。√ を1回とるたびに、式を変えない入れ替えの数が減っていく。それが解に近づくということなんだ。入れ替えで値がどう変わるか、表で確かめよう。

そう。3次方程式で同じことを考えよう。まず解と係数の関係からだ。x³＋ax²＋bx＋c＝0 の3つの解を α, β, γ とすると、左辺は (x−α)(x−β)(x−γ) と因数分解できる。展開してごらん。

その通り。3つの解の入れ替えは何通りあるかな？ 第1章を思い出してごらん。

そう。(α β γ) は「α を β に、β を γ に、γ を α に付け替える」入れ替えだったね。では、2次方程式の α−β にあたる式を探そう。Δ＝(α−β)(β−γ)(γ−α)（Δ はデルタと読む）に、(α β) と (α β γ) をしてごらん。

残りの4つも同じように調べると、Δ を変えないのは e, (α β γ), (α γ β) の3つ、符号を変えるのは3つの互換だと分かる。6つの入れ替えで、いろいろな式がどんな値をとるか、実際の方程式で確かめてみよう。

よく思い出したね。Δ は、入れ替えが偶置換なら変わらず、奇置換なら符号が変わる。だから Δ² は対称式で、係数で書ける。x³＋px＋q＝0 の形なら、計算すると Δ²＝−4p³−27q² になる。これが3次方程式の判別式だ。x³−7x＋6 で確かめてごらん。

そう。Δ² が係数で分かるから、√ を1回とれば Δ が手に入る。そのとき、式を変えない入れ替えは6つから偶置換の3つに減る。ちょうど半分になるのは偶然ではない。Δ を保つ入れ替えの集まりは部分群で、符号を変える入れ替えの集まりは、それを1つの互換でずらしたコピーになっている。第1章の剰余類の話だね。

いいところに気づいたね。第1章のラグランジュの定理で言えば、3個の群の部分群は、個数が 3 を割り切るので、1個か3個しかない。半分にはならないんだ。3つを一気に1つに減らすには、√ ではなく∛が必要になる。次のステージで、3次方程式を実際に解きながら、そのしくみを見よう。