3次方程式を解く

前のステージで、3次方程式では √ を1回とっても、式を変えない入れ替えが6つから3つに減るだけだと分かった。残りの3つを1つに減らすには ∛ が要る。今日はその道具を作って、3次方程式の解の公式を自分の手で導く。1770年にラグランジュが見つけたこの見方は、のちに5次方程式でなぜ同じことができないのかを考える出発点になったんだ。まず準備をしよう。x³＋ax²＋bx＋c＝0 は、x＝y−a/3 とおくと、y² の項が消える。確かめてごらん。

そう。次に、1 の3乗根を用意する。3乗すると 1 になる複素数のうち、1 でないものを ω（オメガ）と書く。どんな数か、複素数の掛け算から考えてごらん。

そう。1＋ω＋ω²＝0 だから、ω は x²＋x＋1＝0 の解で、2次方程式の公式から ω＝(−1＋√−3)/2 と √ だけで書ける。ここからがラグランジュのアイデアだ。3つの解を使ってu＝α＋ωβ＋ω²γ という式を作る。これに回転 (α β γ)、つまり α を β に、β を γ に、γ を α に付け替える入れ替えをすると、どうなるかな？

その通り。では互換 (β γ) をすると？ 出てくる式を v と呼ぼう。

6つの入れ替えで u と u³ がどう動くかを、実際の方程式で確かめてみよう。

そう。だから係数で書ける。実際に計算しよう。まず uv を展開してごらん。α＋β＋γ＝0 を使うといい。

その通り。次は u³＋v³ だ。u＋v を先に計算すると楽になるよ。

u³ と v³ は、和と積が分かっている2つの数だ。もう解けるね。

いい質問だね。u のとり方は3つあるが、u を ωu に変えるのは、さっき見た通り α, β, γ の名前を回転させることにあたる。だから、どれを u に選んでも、3つの解が名前を変えて出てくるだけなんだ。ただし v は自由に選べない。uv＝−3p をみたすように、u に合わせて決める。では、ボンベリが1572年に調べた方程式 x³−15x−4＝0 に公式を使ってごらん。

ボンベリは、2＋11i が「きれいな数の3乗」になっていないかを考えた。(2＋i)³ を計算してごらん。

そう。3つの解はどれも実数なのに、公式は途中で負の数の √ を通る。この事実が、複素数が「計算の道具」として認められるきっかけになったんだ。さて、今日の解き方を入れ替えの数で振り返ろう。はじめ、係数から分かるのは対称式だけで、式を変えない入れ替えは6つあった。√(q²/4＋p³/27) を使えるようにすると何が分かって、それを変えない入れ替えはいくつかな？

そう。4次方程式の24通りの入れ替えも、√ と ∛ で段々に絞っていける。フェラーリの解法は、その途中で3次方程式を1つ解くんだ。では5次方程式の120通りの入れ替えはどうか。それを調べるには、まず「方程式にとって意味のある入れ替え」をきちんと定める必要がある。たとえば x³−15x−4 では、解の 4 は有理数だから、4 を別の解と入れ替えるのは不自然だね。次のステージでは、方程式ごとに決まる入れ替えの群、ガロア群を定義しよう。