解けない15パズル

この章では、ある有名なパズルの謎を解く。15パズルを知っているかな？ 4×4 のマスに、1 から 15 のタイルと空白が1つある。できるのは、空白のとなりのタイルを空白へすべらせることだけだ。1880年ごろ、アメリカで大流行したパズルなんだ。

そう。では、こんな問題を考えよう。そろった状態から、14 と 15 のタイルだけを取り外して、入れ替えてはめ直す。この配置から、すべらせる動きだけで、そろった状態に戻せるかな？

できるんだ。パズル作家のサム・ロイドは、この配置をそろえた人に 1000 ドルの賞金を出すと宣伝したと、のちに書き残している。けれど、賞金を受け取った人はいない。その前の1879年に、ジョンソンとストーリーという2人の数学者が、この配置はどう動かしてもそろわないことを証明していたんだ。

全部は試さない。そのかわりに、どう動かしても変わらない性質を見つけるんだ。そろった状態はその性質をもっていて、14 と 15 を入れ替えた配置はもっていない。そういう性質が見つかれば、どれだけ動かしてもたどり着けないと言い切れる。そのためには、「タイルを動かす」という操作そのものを、数のように計算する道具が要る。それが、この章で学ぶ群（ぐん）だ。

操作を続けて行うことを、掛け算のように考えるんだ。「空白を右に1つ動かしてから、上に1つ動かす」は、2つの操作から新しい1つの操作を作っているね。数の掛け算が 2 と 3 から 6 を作るのと同じ形だ。この考え方はパズルだけのものではない。インターネットの通信を守ってきた RSA 暗号は、「時計の算術」と呼ばれる群の性質で動いている。そして第4章では、「5次方程式には、なぜ解の公式がないのか」という大問題を、方程式の解を入れ替える操作の群で解き明かす。

そう。どれも「操作を続けて行う」「もとに戻す」という計算の仲間なんだ。時計の算術は、12 時の 5 時間後を 17 時ではなく 5 時と数えるように、割った余りだけで計算する方法で、STAGE3 でくわしく扱う。この章でできるようになることを、まとめておこう。

そうだね。だから、いちばん小さな例から始めよう。正三角形の板があって、頂点に 1, 2, 3 の番号が書いてある。はじめは、上の頂点に 1、左下に 2、右下に 3 がある。この板を持ち上げて、動かして、もとの三角形の枠にぴったりはめ直す。はめ直し方は何通りあるかな？ 板の表と裏も区別するよ。

その通り。この6つの動かし方に名前をつけよう。何もしない動かし方を e、左回り（時計の針と逆向き）に 120° 回すのを r、240° 回すのを r² と書く。r を2回することだからね。裏返しは3つある。枠の上の角を通る縦の軸を軸1、左下の角を通る軸を軸2、右下の角を通る軸を軸3 として、軸1, 2, 3 で裏返すのを s₁, s₂, s₃ と書く。軸は枠のほうに固定されていて、板を動かしても動かない。この6つのように、形をぴったり重ねる動かし方の全体を、正三角形の対称性という。

そう。では、2つの操作を続けて行ってみよう。r をしてから s₁ をすると、全体ではどの動かし方になるかな？

そう。「操作 a のあとに操作 b をする」ことを ab と書いて、a と b の積と呼ぶ。左から順に行う、という約束だ。いまの計算は rs₁＝s₂ と書ける。では、順番を逆にして、s₁ のあとに r をすると？

その通り。靴下をはいてから靴をはくのと、靴をはいてから靴下をはくのとでは、結果が違うね。操作は順番が大事なんだ。もう1つ大事なことがある。6つのうちのどの2つを続けて行っても、結果は必ず6つのどれかと同じになる。なぜかな？

そう。このことを、6つの操作は積について閉じているという。そして e は、数の 1 のような役割をする。e のあとに a をしても、a のあとに e をしても、a だけをしたのと同じだからね。では、r をしたあと、もとに戻すには何をすればいいかな？

そう。操作 a を打ち消してもとに戻す操作を、a の逆と呼んで a⁻¹（エー・インバース）と書く。r⁻¹＝r²、s₁⁻¹＝s₁ だ。積が6つの中で閉じていること、何もしない e があること、どれにも逆があること。この3つが、次のステージで定義する「群」の中心になる。

そう。正三角形の6つの操作は、3つの頂点の置き場所の入れ替えになっている。15パズルの1手も、空白とタイルの置き場所の入れ替えだ。どちらも「入れ替え」の計算として、同じ道具で扱えるんだ。

そう。次のステージでは、6つの操作どうしの積を全部計算して掛け算表を作り、そこから群の正確な定義に進もう。