群 ― 対称性を計算する

14 と 15 を入れ替えた15パズルは、どう動かしてもそろわない。それを言い切るための道具「群」への入口。

正三角形の6つの操作の掛け算表から、群の4つの条件が生まれる。なぜこの4つなのかを、方程式を解く計算から確かめる。

9 時の 5 時間後は 2 時。割った余りで計算する「時計の算術」が群になるしくみと、mod 6 では掛け算がうまくいかない理由。

群は、部分群のずらしたコピーで、ぴったり等分割できる。そこからフェルマーの小定理が数行で証明できる。

鍵を公開しても破られない暗号。群の個数 φ(n) とオイラーの定理で、RSA暗号を小さな数で組み立てて動かす。

並べ替えを2つずつの入れ替えに分けると、回数は変わっても偶数か奇数かは変わらない。転倒数でその理由を証明する。

1手は互換、市松模様で空白は偶数手で戻る。だから全体は偶置換。14 と 15 の入れ替えが不可能な理由をついに証明する。