🔷 群・環・体からガロア理論へ
第1章 対称性を計算する ／ STAGE 2 ― 操作の掛け算表 ―
クリア 0 / 7
第1章 STAGE 2

操作の掛け算表

掛け算表から群の4つの条件へ
🎯 ミッション
正三角形の6つの操作の掛け算表を読み、どの行にも各操作がちょうど1回ずつ出る理由を説明しよう。群の4つの条件を言えて、整数の足し算は群・自然数の足し算は群でないことを判定できれば合格。
未達成
ねこ博士
前のステージで、正三角形を枠にぴったりはめ直す6つの操作 e, r, r², s₁, s₂, s₃ を見つけた。e は何もしない、r は左回りに 120° 回す、s₁, s₂, s₃ は枠に固定した軸1, 2, 3 での裏返しで、ab は「a のあとに b をする」積だったね。15パズルの謎を解くには、操作の計算のルールをはっきり決めておく必要がある。今日はまず、6つの操作どうしの積を全部表にしよう。
うさ美
6×6＝36 通りの積があります。e は何もしないので、e との積は ea＝ae＝a。回転どうしは角度を足せばよくて、rr＝r²、rr²＝e、r²r²＝r⁴ で 480°＝360°＋120° なので r です。残りの、裏返しが入った積は、前のステージのように頂点の並びを追えば計算できます。
ねこ博士
そう。行に「先にする操作」、列に「あとにする操作」を並べて、交わるマスに積を書く。こういう表をケイリー表という。1854年に、イギリスの数学者ケイリーが、こういう表を使って操作の集まりを調べたんだ。
正三角形の6つの操作のケイリー表。行の操作のあとに列の操作をした結果が、交わるマスに書いてある。紫の文字は回転、金の文字は裏返し。マスをタップすると、その2つの操作を順に行う様子を三角形で再生し、順番を逆にした積のマス（金の枠）と比べる
うさ美
36 個を全部計算すると、どの行にも、6つの操作がちょうど1回ずつ出てきます。列も同じです。それから、r の行と s₁ の列は s₂ なのに、s₁ の行と r の列は s₃ です。左上から右下への対角線で表を折り返しても、重ならないマスがあります。
ねこ博士
よく見たね。ab と ba が等しくならない組があることを、「交換法則が成り立たない」という。では、どの行にも各操作がちょうど1回ずつ出るのはなぜか。r の行で考えよう。r の行に同じ操作が2回出たとする。つまり、異なる x と y で rx＝ry になったとする。
うさ美
rx と ry の前に、r の逆の r² をします。すると r²(rx)＝r²(ry)。r²r＝e なので、左辺は ex＝x、右辺は ey＝y で、x＝y になります。x と y は異なると言ったことと矛盾します。だから同じ操作は2回出ません。6つのマスに6つの操作が重ならずに入るので、ちょうど1回ずつです。
ねこ博士
そう。いまの計算で、r²(rx) を (r²r)x と、かっこの位置を変えたね。それはなぜ許されるのかな？
うさ美
どちらも「r²、r、x の順に3つの操作をする」ことだからです。続けて行う順番さえ同じなら、どこで区切って1つにまとめても、最後の置き方は同じになります。
ねこ博士
そう。この性質を結合法則という。(ab)c＝a(bc) だ。操作では当たり前に見えるけれど、どんな計算でも成り立つわけではない。引き算で確かめてごらん。
うさ美
(5−3)−1＝2−1＝1 ですが、5−(3−1)＝5−2＝3 です。引き算では、かっこの位置で答えが変わるので、結合法則が成り立ちません。
ねこ博士
そう。いまの証明で使ったことを並べると、群の定義になる。なぜこれを定義にするかというと、この4つがそろっていれば、ax＝b のような「操作の方程式」がいつでも解けて、答えがただ1つに決まるからだ。数の世界で 3x＝6 を x＝2 と解けるように、操作の世界でも「もとに戻す」計算ができる。その計算ができる世界を、群と呼ぶことにしたんだ。
群の定義ものの集まり G と、G の2つのもの a, b から G のもの ab を作る計算（積）があり、次の4つが成り立つとき、G を群という。
① 閉じている：G のどの a, b についても、ab も G に入っている
② 結合法則：どの a, b, c についても (ab)c＝a(bc)
③ 単位元がある：どの a についても ae＝ea＝a となる e が G にある
④ 逆元がある：どの a にも、aa⁻¹＝a⁻¹a＝e となる a⁻¹ が G にある
なぜこの4つか：G の中で ax＝b を x について解く 両辺の前に a⁻¹ をする：a⁻¹(ax)＝a⁻¹b（④ で a⁻¹ があり、① で結果も G に入る） かっこの位置を変える：(a⁻¹a)x＝a⁻¹b（② 結合法則） a⁻¹a＝e なので ex＝a⁻¹b（④ 逆元の性質） e は何もしないので x＝a⁻¹b（③ 単位元の性質） 答えはこの1つだけ。だからケイリー表の a の行には、どの b もちょうど1回出てくる
うさ美
計算で確かめてみます。rx＝s₁ なら x＝r⁻¹s₁＝r²s₁ で、r² のあとに s₁ をすると s₃ です。実際、r のあとに s₃ をすると s₁ になります。
ねこ博士
そう。数の世界の言葉に合わせて、e を単位元、a⁻¹ を a の逆元という。次は、数の集まりでも群になるかを判定しよう。整数全体を ℤ と書く。ℤ と足し算は群かな？ 足し算のときは、積 ab のかわりに a＋b と書いて、単位元や逆元も足し算で考えるんだ。
うさ美
整数どうしを足すと整数なので、閉じています。(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) も成り立ちます。単位元は 0 で、a＋0＝0＋a＝a。a の逆元は −a で、a＋(−a)＝0。4つとも成り立つので、群です。
ねこ博士
そう。では、自然数 1, 2, 3, … と足し算はどうかな？
うさ美
足しても自然数なので閉じていて、結合法則も成り立ちます。でも、a＋e＝a となる e は 0 しかなく、0 は自然数に入っていないので、単位元がありません。0 を仲間に入れたとしても、3＋x＝0 となる x が自然数にないので、3 に逆元がありません。群ではありません。
ねこ博士
そう。掛け算ではどうかな。ℤ と掛け算、それから 0 以外の有理数と掛け算を調べてごらん。有理数は、整数 a と 0 でない整数 b で a/b と書ける数のことだったね。
うさ美
ℤ と掛け算は、単位元は 1 ですが、2×x＝1 となる整数 x がないので、2 に逆元がありません。群ではありません。0 以外の有理数なら、a/b の逆元は b/a で、0 でない有理数どうしの積も 0 でない有理数なので、群です。0 を仲間に入れると、0×x＝1 となる x がないので、群ではなくなります。
集まりと計算①閉じる②結合③単位元④逆元群？
正三角形の6つの操作と積○○e○群
ℤ と足し算○○0−a群
自然数と足し算○○×××
ℤ と引き算○××−×
ℤ と掛け算○○1×（2）×
0 以外の有理数と掛け算○○1b/a群
有理数全体と掛け算○○1×（0）×
群になる例と、ならない例。4つの条件のうち1つでも欠けると群ではない（×）。×（2）は「2 に逆元がない」という意味。引き算は、a−0＝a でも 0−a＝a とはならないので単位元もない
ねこ博士
その通り。群の中には、正三角形の操作のように順番で結果が変わるものも、整数の足し算のように変わらないものもある。いつでも ab＝ba となる群を可換群、またはノルウェーの数学者アーベルの名前からアーベル群という。アーベルは、第4章の5次方程式の話にも出てくる人だよ。では、図形の対称性をもう1つ調べよう。正方形の頂点に 1, 2, 3, 4 と番号を書いて、枠にぴったりはめ直す置き方は何通りかな？
うさ美
頂点 1 をどの角に置くかで 4 通り、そのたびに表と裏の 2 通りなので、4×2＝8 通りです。回転は 0°, 90°, 180°, 270° の 4 つ。正方形の対称の軸は、2本の対角線と、向かい合う辺の真ん中どうしを結ぶ縦と横の線の 4 本なので、裏返しも 4 つです。
正方形の対称性。左回りに 90° 回す操作と、4本の軸（点線）での裏返しを続けて行える。いまの並び（左上・左下・右下・右上の角にある頂点の番号）と、これまでに見つけた置き方の数を表示する。何回操作を重ねても、置き方は 8 通りから増えない
ねこ博士
そう。正方形でも、順番で結果が変わるか確かめよう。はじめに、左上に 1、左下に 2、右下に 3、右上に 4 を置く。左回りに 90° 回す操作を r、縦の軸で裏返す操作を s として、rs と sr を比べてごらん。
うさ美
並びを左上・左下・右下・右上の順に書きます。r で (4, 1, 2, 3)、そのあと s で左右が入れ替わって (3, 2, 1, 4)。2 と 4 が動いていないので、左下と右上を結ぶ対角線での裏返しです。逆に、s で (4, 3, 2, 1)、そのあと r で (1, 4, 3, 2)。こちらは 1 と 3 が動いていないので、もう1本の対角線での裏返しです。rs と sr は違います。
正方形の並び（左上・左下・右下・右上）：はじめ (1, 2, 3, 4) rs：r で (4, 1, 2, 3) → s で (3, 2, 1, 4)（2 と 4 が動かない → ／の対角線での裏返し） sr：s で (4, 3, 2, 1) → r で (1, 4, 3, 2)（1 と 3 が動かない → ＼の対角線での裏返し）
ねこ博士
そう。正方形の8つの操作も、閉じていて、単位元 e と逆元がある群になっている。図形をぴったり重ねる動かし方の全体は、いつも群になるんだ。次のステージでは、数の世界の群を調べる。時計のように、回るともとに戻る数の世界だ。
【このステージの成果】 ケイリー表：行の操作のあとに列の操作をした積を並べた表。rs₁＝s₂、s₁r＝s₃ のように交換法則は成り立たない 群の4つの条件：① 閉じている ② 結合法則 (ab)c＝a(bc) ③ 単位元 e ④ 逆元 a⁻¹ 4つがあれば ax＝b はただ1つの答え x＝a⁻¹b をもつ → ケイリー表のどの行にも各操作がちょうど1回 ℤ と足し算、0 以外の有理数と掛け算は群。自然数と足し算（単位元・逆元がない）、ℤ と掛け算（2 に逆元がない）は群でない 正方形の対称性は 4×2＝8 個の操作の群。図形の対称性はいつも群になる

確認クイズ

Q1. 群の4つの条件にふくまれないものは？

Q2. 自然数 1, 2, 3, … と足し算が群にならない理由は？

Q3. ケイリー表のどの行にも、各操作がちょうど1回ずつ出る理由は？

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