2つの謎と数の世界

第1章では、回す・裏返す・入れ替えるといった操作を計算する道具、群を作った。第2章では、いちばん身近な数、整数に戻ろう。まず1つ実験だ。素数 2, 3, 5, 7, 11, 13 のそれぞれが、2つの平方数の和で書けるか調べてごらん。0² も使っていいよ。

そう。50 くらいまでの素数で続けて、書けるものと書けないものに分けてごらん。

書ける素数と書けない素数を分けている規則がある。それぞれを 4 で割った余りを調べてごらん。

それが1つ目の謎だ。4 で割って 1 余る素数は2つの平方数の和で書け、3 余る素数は書けない。1640年、フェルマーが手紙にこの事実を書いたけれど、証明は残さなかった。最初の証明は、1749年にオイラーが何年も苦労してやっと手紙で知らせたものだ。でも、整数より広い数の世界から見ると、見通しよく証明できる。13＝2²＋3² だったね。i² ＝ −1 を思い出して、(3＋2i)(3−2i) を計算してごらん。

そう。「2つの平方数の和で書けるか」という整数の問題が、「i を使ってよい世界で、掛け算に分かれるか」という問題に言いかえられるんだ。これをきちんと証明するのが、この章の目標の1つだよ。ところが、広い世界に出ると、困ったことも起きる。√−5 を、2乗すると −5 になる数、つまり √5 i として、a＋b√−5（a, b は整数）の形の数だけを使う世界を考える。(1＋√−5)(1−√−5) を計算してごらん。

その疑問が大事なんだ。実はこの世界では、2, 3, 1＋√−5, 1−√−5 のどれも、この世界の数ではそれ以上分けられない。それを確かめるのは STAGE6 だ。つまり、この世界では素因数分解がただ1通りにならない。これが2つ目の謎だよ。

それこそが、この章で突き止めることなんだ。歴史の上でも大事件だった。1847年、ラメという数学者が、こういう広い世界の数を使って「フェルマーの最終定理（3 以上の n で xⁿ＋yⁿ＝zⁿ をみたす自然数はない）を証明した」と発表した。ところが、その証明は、新しい世界でも素因数分解がただ1通りだと思い込んで使っていて、そこが崩れていた。この章の道具を使うと、こういうことができるようになる。

いい質問だね。それを決めよう。整数どうしを足しても、引いても、掛けても、答えはまた整数だね。こういう、計算しても集まりの外に出ないことを閉じているという。そして、0 と 1 を含み、足し算・引き算・掛け算で閉じた数の集まりを環（かん）と呼ぶ。この章では「数の世界」とも呼ぶよ。素因数分解の話をするには、掛け算をしても世界の外に出ないことがまず必要だからね。交換法則や分配法則のような計算の決まりは、もとの数（複素数や整数）から引き継がれるから、確かめるのは「閉じているか」だけでいい。ガウス整数、つまり a＋bi（a, b は整数）の形の数全体が環になるか、確かめてごらん。

この2つの世界の数は、複素数の平面の上に、規則正しく並んだ点として描ける。ガウス整数は1辺 1 の正方形の角に、a＋b√−5 は横 1・縦 √5 の長方形の角に並ぶ。どの2つを掛けても、積はまた同じ並びの点に乗るんだ。

その通り。環は「足し算については群で、そのうえ掛け算もできる世界」だと言ってもいい。第1章の mod n の世界も環になるよ。0, 1, …, n−1 の中で、足し算・引き算・掛け算の余りを取る世界だったね。では、なぜ環の約束に「割り算」を入れないのか。整数の代わりに、有理数（整数÷整数で書ける数）全体を世界にしたら、素因数分解はどうなるかな？

そう。割り算がいつもできる世界は、第3章で主役になる。この章の舞台は、割り算がいつもはできないからこそ「割り切れる」「約数」が意味をもつ環なんだ。逆に、当てはまらない例も見ておこう。偶数全体はどうかな？

そう。偶数全体は環ではないけれど、STAGE7 で「イデアル」という別の役で再登場する。もう1つ。3乗すると 2 になる数を ∛2 として、a＋b∛2（a, b は整数）の集まりを考える。∛2×∛2＝∛4 が a＋b∛2 の形に書けるとしたら、両辺に ∛2 を掛けるとどうなるかな？

そう。最後に、∛2 が有理数でないことを確かめれば完成だ。∛2＝m/n（m, n は自然数で、これ以上約分できない分数）としてごらん。

その通り。これで舞台ができた。次のステージでは、環の中で「これ以上分けられない数」をどう見分けるかを考えよう。そのとき、数の大きさを整数で測る「ノルム」というものさしを作る。それが1つ目の謎への第一歩にもなるよ。