環 ― 素因数分解の世界

5＝1²＋2² なのに 3 や 7 は平方数の和にならない。6 が2通りに分解される世界もある。2つの謎を解く舞台「環」を作る。

掛けて 1 になる数と、これ以上分けられない数。ノルムというものさしで、素数が平方数の和になる謎を「分けられるか」の問題に言いかえる。

「素因数分解はただ1通り」は、正確には何を言っているのか。それを支えていたのは、素数がもつ1つの性質だった。

小学校で習う「余りのある割り算」が、素因数分解がただ1通りである理由だった。mod p の逆数や RSA の鍵も、同じ計算で求まる。

4 で割って 1 余る素数は、必ず2つの平方数の和になる。逆元のペアとガウス整数の一意性で、フェルマーの主張を証明する。

余りのある割り算ができない世界 a＋b√−5 では、6＝2×3＝(1＋√−5)(1−√−5)。2 は分けられないのに素元ではない。

最大公約数にあたる数がない世界でも、「倍数の集まり」なら作れる。クンマーとデデキントの見えない部品、イデアルの正体。

6＝2×3＝(1＋√−5)(1−√−5) は、同じ4つの部品 A·A·B·C の組み替えだった。イデアルの掛け算で素因数分解を修理する。