数の代わりに倍数の集まり

前のステージで、a＋b√−5 の世界では、2 が既約元（これ以上分けられない数）なのに素元（積を割り切れば因数のどちらかを割り切る数）でないために、6＝2×3＝(1＋√−5)(1−√−5) と分解が2通りになることを確かめた。クンマーの考えは、2 や 1＋√−5 は本当はまだ分けられるのに、それを分ける「部品」がこの世界の数の中にないだけだ、というものだった。部品が数として存在しないなら、どうやって扱えばいいか。手がかりは、「割り切る」を倍数の集まりで言いかえることにある。まず整数で考えよう。n の倍数全体の集まりを (n) と書くことにする。2 が 6 を割り切ることと、(6) と (2) の関係を考えてごらん。

そう。数そのものの代わりに、倍数の集まりで「割り切る」を言いかえられる。次は最大公約数だ。4 と 6 に整数を掛けて足した数 4x＋6y を全部集めた集まりを考える。これはどんな集まりかな？

そう。つまり整数の世界では、「2つの数の最大公約数」と「ax＋by の形の数の集まり」は同じ情報をもっている。では a＋b√−5 の世界で、2 と 1＋√−5 の最大公約数を考えよう。2 と 1＋√−5 の両方を割り切る数 d は何があるかな？ STAGE2 のノルムを使ってごらん。

そう。整数の世界なら、公約数が ±1 だけなら ax＋by＝1 と書けるはずだった。ここでも 2x＋(1＋√−5)y＝1 となる x, y がこの世界にあるか、調べよう。x, y をこの世界のどんな数にしてもよいとして、2x＋(1＋√−5)y の形の数を全部集めたものを A と書く。x＝c＋d√−5 として、2x と (1＋√−5)x を計算してごらん。

よく調べたね。逆に、a＋b が偶数の数は、全部 A に入るかな？ a＋b√−5 を、1＋√−5 の何倍かと残りに分けてごらん。

さて、整数の世界では {ax＋by} は最大公約数の倍数の集まりだった。A も、何かの数 d の倍数の集まり (d) になっているかな？

それが大事な発見なんだ。整数の世界では「数」と「倍数の集まり」は1対1に対応していた。a＋b√−5 の世界では、A のように、どの数の倍数の集まりでもないのに、倍数の集まりと同じ性質をもつ集まりがある。A は 2 も 1＋√−5 も 6 も含み、3 は含まない。数としては存在しない「2 と 1＋√−5 の最大公約数」が、集まりとしては存在している。これがクンマーの「見えない部品」の正体だ。1871年にデデキントは、こういう集まりをイデアルと名づけた。では、「倍数の集まりと同じ性質」とは何か。d の倍数の集まり (d) には、どんな性質があるかな？

そう。この2つの性質は、「ある部品で割り切れる数の集まり」がもつべき性質そのものだ。部品で割り切れる数どうしの和や差は割り切れるし、割り切れる数の倍数も割り切れる。だからこの2つを、部品の定義にするんだ。例と、当てはまらない例を見ておこう。STAGE1 で、偶数全体は 1 を含まないから環ではない、と言ったね。整数の世界で、偶数全体はイデアルかな？

その通り。最後に、整数の世界のイデアルはどれも、ある数 d の倍数の集まり (d) になることを確かめておこう。そうすれば、A のようなものが現れるのは整数より広い世界ならではだと分かる。I を整数のイデアルとして、I に入っている正の数のうちいちばん小さいものを d とする。I の数 m を d で割ってごらん。

そう。余りのある割り算ができる世界では、イデアルはどれも1つの数の倍数の集まりになり、「数」と「部品」の区別はいらない。a＋b√−5 の世界では割り算がうまくいかないから、A のような「数で書けない部品」が現れる。次のステージでは、このイデアルどうしを掛け算して、こわれた素因数分解 6＝2×3＝(1＋√−5)(1−√−5) を修理しよう。