第2章 STAGE 6

こわれた素因数分解

既約元なのに素元でない数

🎯 ミッション

a＋b√−5 の世界では余りのある割り算ができない理由（長方形の真ん中から角まで √6/2）を説明し、2, 3, 1±√−5 がどれも既約元であることをノルムで確かめよう。2 が既約元なのに素元でないことと、a＋b√−2 では同じことが起きない理由を説明できれば合格。

未達成

ねこ博士

前のステージで、ガウス整数の世界の素因数分解がただ1通りであることを使って、1つ目の謎を解いた。その一意性を支えていたのは「余りのある割り算」だったね。今日は2つ目の謎、a＋b√−5 の世界を調べる。この世界でつまずく場所を正確に突き止めることが、ラメの証明がどこで崩れたかを知ることにもなるし、STAGE7・STAGE8 で素因数分解を修理するための準備にもなるんだ。まず割り算から。この世界の数は、複素数の平面で横 a、縦 √5 b の点だったね。

うさ美

点は横 1、縦 √5 の長方形の角に並びます。ガウス整数と同じように考えると、長方形の真ん中から角までは、三平方の定理で √((1/2)²＋(√5/2)²)＝√(1/4＋5/4)＝√6/2≒1.22 です。1 より大きいので、z÷w が真ん中あたりに来ると、いちばん近い点を選んでも、余りのノルムが割る数のノルムより小さくならないかもしれません。

ねこ博士

実際にそうなる例がある。1＋√−5 を 2 で割ってごらん。

うさ美

(1＋√−5)÷2＝1/2＋(1/2)√−5。ちょうど長方形の真ん中です。商の候補はまわりの 0, 1, √−5, 1＋√−5 で、余り (1＋√−5)−2q はそれぞれ 1＋√−5, −1＋√−5, 1−√−5, −1−√−5 です。どれもノルムは 1＋5＝6 で、割る数 2 のノルム 4 より大きくなります。余りを小さくできません。

a＋b√−5 の世界では割り算がうまくいかない。格子は横 1・縦 √5 の長方形。真ん中の点 (1＋√−5)÷2 から4つの角までは、どれも √6/2≒1.22 で、半径 1 の円（赤い点線）の外にある。どの角を商に選んでも、余りのノルムは 6 で、N(2)＝4 より小さくならない

ねこ博士

そう。ガウス整数では、z÷w がどこに来ても距離 √2/2 以内に格子点があったけれど、この世界では、どの格子点からも距離が 1 を超える場所が残る。いくつかの世界で比べてみよう。a＋b√−d の世界の格子は横 1・縦 √d の長方形で、すきまができるかどうかは、真ん中から角までの距離で決まる。

世界

余りを小さくできる範囲。それぞれの格子点を中心に、半径 1 の円を描いた。z÷w がどれかの円の内側に入れば、その中心を商に選んで、余りのノルムを割る数のノルムより小さくできる。ガウス整数と a＋b√−2 では円が平面をすきまなくおおうので、余りのある割り算がいつでもできる。a＋b√−5 や a＋b√−6 では長方形の真ん中にすきま（赤い点）が残る

うさ美

a＋b√−2 なら √(1/4＋2/4)＝√3/2≒0.87 で 1 より小さいので、割り算ができます。でも、割り算ができないからといって、すぐに素因数分解が崩れるとは限りませんよね。STAGE4 の証明が使えなくなるだけで、別の理由でただ1通りになっているかもしれません。

ねこ博士

その通り。だから実例で確かめる。STAGE1 で見た 6＝2×3＝(1＋√−5)(1−√−5) だ。これが本当に「素因数分解が2通り」の例になっているには、何を確かめればいいかな？

うさ美

2, 3, 1＋√−5, 1−√−5 が4つとも既約元（これ以上分けられない数）であることと、上の分け方の部品と下の分け方の部品が、単数を掛けただけの違いではないことです。整数の 12＝3×4＝2×6 のように、途中までの分け方なら何通りあってもおかしくないからです。

ねこ博士

そう。STAGE2 のノルム N(a＋b√−5)＝a²＋5b² を使ってごらん。この世界には、ノルム 2 の数も 3 の数もなかったね。

うさ美

2 を単数でない2つの数に分けると、ノルムは N(2)＝4＝2×2 なので、ノルム 2 の数が要ります。ありません。3 はノルム 9＝3×3 で、ノルム 3 の数が要りますが、ありません。1±√−5 はノルム 6＝2×3 で、ノルム 2 か 3 の数が要りますが、どちらもありません。4つとも既約元です。この世界の単数は ±1 だけで、2 のノルムは 4、1±√−5 のノルムは 6 なので、2 に ±1 を掛けても 1±√−5 にはなりません。3 もノルム 9 なので同じです。6 は、本当に2通りに分解できてしまいます。

ノルム：N(a＋b√−5)＝a²＋5b²。b≠0 なら 5 以上なので、ノルム 2, 3 の数はない N(2)＝4＝2×2、N(3)＝9＝3×3、N(1±√−5)＝6＝2×3 → どれも分けるにはノルム 2 か 3 の数が要る → 4つとも既約元単数は ±1 だけ。ノルムが 4, 9, 6 と違うので、どの2つも単数を掛けただけの違いではない → 6＝2×3＝(1＋√−5)(1−√−5) は、本当に違う2通りの素因数分解

ねこ博士

その通り。STAGE3 の言葉で言うと、何が起きているかな？ 2 は素元（ab を割り切れば a か b を割り切る数）だろうか。

うさ美

2 は (1＋√−5)(1−√−5)＝6 を割り切ります。でも、(1＋√−5)÷2＝1/2＋(1/2)√−5 はこの世界の数ではないので、2 は 1＋√−5 を割り切りません。1−√−5 も同じです。2 は既約元なのに素元ではない。STAGE3 で、既約元がどれも素元なら一意だと分かりましたが、ここではそれが成り立っていないので、部品を打ち消し合わせられなくなっています。

ねこ博士

そう。こういう数は 6 だけではない。9＝3×3 と (2＋√−5)(2−√−5) を比べてごらん。

うさ美

(2＋√−5)(2−√−5)＝4−(−5)＝9。2±√−5 はノルム 9 で、分けるにはノルム 3 の数が要るので既約元です。9 も2通りに分かれます。

数	分け方1	分け方2	分け方3
6	2×3	(1＋√−5)(1−√−5)	—
9	3×3	(2＋√−5)(2−√−5)	—
14	2×7	(3＋√−5)(3−√−5)	—
21	3×7	(1＋2√−5)(1−2√−5)	(4＋√−5)(4−√−5)

k	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a²＋5b²＝k	○	×	×	○	○	○	×	×	○	×

a＋b√−5 の世界で2通り以上に分かれる数。表の分け方の部品はどれも既約元（分けるのに必要なノルム 2, 3, 7 の数がこの世界にない）。21 は3通りに分かれる。下の表は、ノルム k の数があるか（○）ないか（×）。ノルム 2, 3, 7 の数がないことが、分解をこわしている

ねこ博士

では、比べるために a＋b√−2 の世界も見ておこう。こちらでも (2＋√−2)(2−√−2)＝4−(−2)＝6 で、6＝2×3＝(2＋√−2)(2−√−2) と書ける。こちらも一意性がこわれているかな？

うさ美

この世界のノルムは a²＋2b² で、ノルム 2 の数 √−2 があります。(√−2)²＝−2 なので 2＝−(√−2)²。3 はノルム 9 なのでノルム 3 の数を探すと、1＋√−2 がそうで、(1＋√−2)(1−√−2)＝1＋2＝3。2＋√−2 はノルム 6 なので、√−2 で割ってみると、√−2×(1−√−2)＝√−2−(√−2)²＝√−2＋2 なので 2＋√−2＝√−2(1−√−2)。同じように 2−√−2＝−√−2(1＋√−2)。どちらの分け方も、分けきると −(√−2)²(1＋√−2)(1−√−2) で、部品は同じです。こわれていません。

分けきったとき、部品がそろうか。上：a＋b√−2 の世界では、6 の2通りの書き方の部品がどれもまだ分けられ、分けきるとどちらも同じ部品の組になる（単数 −1 の違いを除いて）。下：a＋b√−5 の世界では、4つの部品がもう分けられないのに、組が違う

ねこ博士

よく分けきったね。大事なのは、書き方が何通りあるかではなく、これ以上分けられない数まで分けきったとき、部品がそろうかどうかなんだ。a＋b√−2 の世界では余りのある割り算ができるから、STAGE4 と同じ証明で既約元はどれも素元になり、分けきれば必ずそろう。a＋b√−5 の世界ではそろわない。ラメの証明が崩れたのも、同じ種類の現象だ。ラメは 1 の p 乗根という数を使った世界で素因数分解がただ1通りだと思い込んでいたけれど、クンマーは 1844年に、p＝23 のときその世界で素因数分解がこわれることを見つけていた。

うさ美

素因数分解が1通りでない世界では、「素数で割り切れるかどうか」で数を調べる方法が使えなくなります。2 で割り切れる数の積なのに、どちらも 2 で割り切れない、ということが起きるからです。この世界では、もう素因数分解は役に立たないんですか？

ねこ博士

クンマーは逆に、この世界を修理する方法を考えた。2 を「これ以上分けられない」と思ったのは、この世界の数だけを部品として探したからだ。数の代わりに、もう少し広い「部品」を考えると、2 も 3 も 1±√−5 も、さらに分けられるようになる。次のステージで、その部品の正体、「イデアル」を作ろう。

【このステージの成果】 a＋b√−5 の格子は横 1・縦 √5。真ん中から角まで √6/2＞1 なので、余りのある割り算ができないことがある（例：(1＋√−5)÷2 はどの商でも余りのノルム 6＞4） a＋b√−5 にはノルム 2, 3 の数がない → 2, 3, 1±√−5 は4つとも既約元。単数は ±1 だけでノルムも違う → 6＝2×3＝(1＋√−5)(1−√−5) は本当に2通り 2 は 6 を割り切るのに 1±√−5 を割り切らない → 既約元なのに素元ではない → 部品を打ち消し合わせられない 9＝3×3＝(2＋√−5)(2−√−5)、21 は3通り。こわれ方は 6 だけではない a＋b√−2 では真ん中から角まで √3/2＜1。6＝2×3＝(2＋√−2)(2−√−2) も分けきると同じ部品 −(√−2)²(1＋√−2)(1−√−2) にそろう大事なのは「分けきったとき部品がそろうか」。ラメの 1 の p 乗根の世界でも、p＝23 で同じ崩れが起きる（クンマー 1844年）

確認クイズ

Q1. a＋b√−5 の世界で余りのある割り算ができないことがある理由は？

Q2. a＋b√−5 の世界で、1＋√−5 が既約元だと言える理由は？

Q3. a＋b√−2 の世界で、6＝2×3＝(2＋√−2)(2−√−2) が一意性の崩れにならない理由は？

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