単数と既約元

なりません。−1 を掛けて符号を変えただけです。(−1)×(−1)＝1 なので、−1 で割っても整数の世界から出ません。6＝(−1)×(−6) は 6＝1×6 と同じくらい、何も分けていません。

1 と −1 のほかに、i×(−i)＝−i²＝1 なので i と −i も単数です。でも、たとえば 2＋i に何かを掛けて 1 にできないかは、試すだけでは分かりません。ガウス整数は無限にあるので、全部は試せません。

三平方の定理で √(a²＋b²) です。2＋i なら √5 で、√ が残ってしまいます。

『本当はおもしろい複素数の世界』で、複素数の掛け算は「長さどうしを掛けて、角度どうしを足す」と学びました。zw の長さは z の長さ×w の長さなので、2乗しても掛け算のままです。N(zw)＝N(z)×N(w) です。

(ac−bd)²＋(ad＋bc)²＝a²c²−2abcd＋b²d²＋a²d²＋2abcd＋b²c²。−2abcd と ＋2abcd が消えて、a²c²＋a²d²＋b²c²＋b²d²＝a²(c²＋d²)＋b²(c²＋d²)＝(a²＋b²)(c²＋d²)。本当に N(z)×N(w) になりました。

この式は、「2つの平方数の和」どうしを掛けると、また「2つの平方数の和」になる、とも読めます。5＝1²＋2² と 13＝2²＋3² なら、(1＋2i)(2＋3i)＝2＋3i＋4i＋6i²＝−4＋7i なので、65＝5×13＝4²＋7²。確かに 16＋49＝65 です。

両辺のノルムを取ると N(u)×N(v)＝N(1)＝1。ノルムは 0 以上の整数なので、N(u)＝N(v)＝1 しかありません。a²＋b²＝1 になるのは、a² と b² の片方が 1 で片方が 0 のときだけなので、(a, b)＝(1, 0), (−1, 0), (0, 1), (0, −1)。ガウス整数の単数は 1, −1, i, −i の4つだけです。2＋i はノルムが 5 なので単数ではありません。

i は長さ 1、角度 90° の数なので、i を掛けると長さは変わらずに 90° 回ります。−1 を掛けると 180°、−i を掛けると 270° 回ります。単数を掛けても、原点からの距離は変わらず、向きが変わるだけです。

ノルムを使えば、既約元かどうかも整数で調べられそうです。z を単数でない2つの数 x, y の積に分けたら、N(z)＝N(x)×N(y) で、N(x) も N(y) も 1 より大きい整数です。だから、N(z) が素数なら、そんな分け方はできません。ノルムが素数のガウス整数は既約元、ということですか？

2 のノルムは 2²＝4 です。分けるならノルム 2 の数どうしで、1＋i がそうです。(1＋i)(1−i)＝1−i²＝2 なので、2 は分けられます。3 はノルム 9 で、分けるにはノルム 3 の数が要ります。でも a²＋b²＝3 は、a² も b² も 3 以下なので 0 か 1 で、和は 0, 1, 2 にしかなりません。3 は既約元です。5 は (2＋i)(2−i)＝4−i²＝5 で分けられます。7 は a²＋b²＝7 が要りますが、7−0, 7−1, 7−4 がどれも平方数ではないので、既約元です。

N(z)×N(w)＝N(p)＝p² です。N(z) も N(w) も 1 より大きい整数で、掛けて p² になる組は p×p しかありません。だから N(z)＝p で、z＝a＋bi と書くと a²＋b²＝p。p は2つの平方数の和で書けます。逆に p＝a²＋b² なら p＝(a＋bi)(a−bi) で、どちらもノルム p なので単数ではありません。2つは同じことです！

a＋b√−5 の世界の単数は、a²＋5b²＝1 から b＝0, a＝±1 なので、1 と −1 の2つだけです。それに a²＋5b² は、b が 0 でなければ 5 以上なので、ノルム 2 や 3 の数はありません。