第2章 STAGE 3
「ただ1通り」の正体
素元の性質が一意性を支える
🎯 ミッション
素因数分解の一意性の正確な意味（並べる順番と単数の違いを除いて1通り）を言えるようにし、分解が必ず終わる理由をノルムで説明しよう。既約元がどれも素元（p が ab を割り切れば a か b を割り切る）なら一意性が成り立つことを説明できれば合格。
未達成
ねこ博士
前のステージで、「これ以上分けられない数」＝既約元（0 でも単数でもなく、単数でない2つの数の積に書けない数）を、ノルムで見分けられるようになった。ここで、ラメがつまずいた問いに戻ろう。新しい世界でも素因数分解は「ただ1通り」になるのか。それを判定するには、まず整数の世界で「ただ1通り」がなぜ成り立つのか、そのしくみを突き止める必要がある。しくみが分かれば、あとはそれぞれの世界で、そのしくみが働くかを確かめればいいからね。最初に、そもそも分解が最後までできるかを確かめておこう。ガウス整数 z が 0 でも単数でもないとき、既約元の積に必ず分けられるかな？
うさ美
z が既約元ならそれで終わりです。既約元でなければ、単数でない x, y で z＝xy と分けられます。N(z)＝N(x)N(y) で、N(x) も N(y) も 2 以上なので、N(x) も N(y) も N(z) より小さくなります。x や y がまた分けられるなら、同じように分けます。分けるたびにノルムが小さくなり、ノルムは 1 より大きい整数なので、いつまでも小さくなり続けることはできません。だから必ず既約元の積で止まります。
ねこ博士
そう。分解があることは、ノルムが整数だからすぐに言える。問題はただ1通りかのほうだ。整数の 12 で考えよう。12＝2×2×3 と 12＝3×2×2 は別の分け方かな？ (−2)×2×(−3) はどうかな？
うさ美
順番を変えただけなので、同じ分け方です。(−2)×2×(−3) も、2 と 3 に単数 −1 を掛けただけで、部品は同じです。順番と、単数を掛ける違いは数えない、ということですね。
ねこ博士
そう。正確にはこう言う。「0 でも単数でもない数は、既約元の積に分けられる。その分け方は、並べる順番と、単数を掛ける違いを除いて、ただ1通り」。これを素因数分解の一意性という。ガウス整数では単数が4つあるから、単数の違いが見えにくくなる。5＝(2＋i)(2−i) だったね。(1＋2i)(1−2i) も計算してごらん。
うさ美
(1＋2i)(1−2i)＝1−4i²＝5。5 が別の2つの既約元の積になっています。……でも、i(2−i)＝2i−i²＝1＋2i、−i(2＋i)＝−2i−i²＝1−2i です。1＋2i は 2−i に単数 i を掛けた数で、1−2i は 2＋i に単数 −i を掛けた数なので、部品は同じです。
見かけは違っても、同じ分け方。5＝(2＋i)(2−i) と 5＝(1−2i)(1＋2i) は、部品どうしが単数（−i と i）を掛けただけの違い。(−i)×i＝1 だから、2つの単数をそれぞれの部品に掛けても積は変わらない。一意性は、こういう違いを除いて1通り、という意味
ねこ博士
そう。では、なぜ整数ではただ1通りなのか。鍵になるのは、素数がもつ次の性質だ。素数 p が2つの数の積 ab を割り切るとき、何が言えるかな？ たとえば 7 が ab を割り切るとき。
うさ美
ab の素因数分解の中に 7 があるはずで、ab の素因数は a の素因数と b の素因数を合わせたものなので、7 は a か b のどちらかを割り切ります。……でも、これは「素因数分解はただ1通り」を知っているから言えることです。一意性の理由を知りたいのに一意性を使ったら、ぐるぐる回りになってしまいます。
ねこ博士
いいところに気づいたね。だから順番を逆にする。「p が ab を割り切るなら、p は a か b を割り切る」という性質を、一意性を使わずに証明し、そこから一意性を導くんだ。0 でも単数でもなく、この性質をもつ数を素元（そげん）と呼ぶ。整数の素数が素元であることは、次のステージで割り算を使って証明する。今日は、素元の性質があれば一意性が出てくることを確かめよう。その前に、当てはまらない例を見ておく。6 で試してごらん。
うさ美
6 は 4×9＝36 を割り切りますが、4 も 9 も割り切りません。6＝2×3 の 2 は 4 のほうに、3 は 9 のほうに入っていて、6 がまるごと片方に入るわけではないからです。6 は素元ではありません。
素元かどうかを表で調べる。行が a、列が b で、n が積 ab を割り切るマスに色をつけた。緑は「n が a か b を割り切る」マス、赤は「n が ab を割り切るのに、a も b も割り切らない」マス。赤が1つでもあれば n は素元ではない。n を 2, 3, 5, 7, 11 にすると赤が消え、4, 6, 8, 9, 10, 12 では赤が現れる
ねこ博士
そう。素数でない数には、こういう「分かれて入る」ことが起きる。逆に、素元は必ず既約元になる。p が素元で、p＝xy と分けられたとしよう。x か y が単数になることを示してごらん。
うさ美
p＝xy なので、p は xy を割り切ります。素元の性質で、p は x か y を割り切ります。x を割り切るとすると x＝pc と書けて、p＝xy＝pcy。両辺を p で割ると 1＝cy なので、y は単数です。y を割り切るときも同じで、x が単数です。だから素元は既約元です。
ねこ博士
その通り。両辺を p で割れたのは、ここで扱う世界の数がどれも複素数だからだね。0 でない複素数では割り算ができるから、「pX＝pY なら X＝Y」と打ち消せる。さて、いよいよ本題だ。既約元がどれも素元である世界で、ある数が2通りに分けられたとしよう。p₁p₂…pr＝q₁q₂…qs（p も q もすべて既約元）。p₁ に注目すると、何が言えるかな？
うさ美
p₁ は左辺を割り切るので、右辺の q₁q₂…qs も割り切ります。右辺を q₁ と、残りの q₂…qs の積と見て素元の性質を使うと、p₁ は q₁ を割り切るか、残りを割り切ります。残りを割り切るなら、また q₂ と残りに分けて同じことをします。くり返すと、p₁ は q₁, q₂, …, qs のどれかを割り切ります。それを qj とすると qj＝p₁×c と書けて、qj は既約元で p₁ は単数ではないので、c は単数です。
ねこ博士
そう。つまり p₁ と qj は、単数を掛けただけの違いの同じ部品だ。そのあとはどうするかな？
うさ美
両辺を p₁ で割ります。左辺は p₂…pr、右辺は qj の代わりに単数 c が残った積になります。c は残りのどれかの q に掛けておけば、単数を掛けた既約元のままです。同じことをくり返すと、部品が1つずつ打ち消されていきます。もし片方の部品が先になくなったら、反対側に「既約元の積＝単数」が残りますが、既約元のノルムは 2 以上なので積のノルムも 2 以上で、ノルム 1 の単数にはなれません。だから両側の部品は同時になくなって、2つの分け方は、順番と単数の違いを除いて同じです。
部品を1つずつ打ち消す。同じ数を2通りに既約元の積で書き、上の段の先頭の部品が、下の段のどの部品を割り切るかを探す。素元の性質があるので必ず見つかり、相手は単数を掛けただけの違い。2つを打ち消すと、単数は下の段の残りに掛けて持ち越す。最後に何も残らなければ、2つの分け方は同じだったことになる
ねこ博士
よく組み立てたね。まとめると、既約元がどれも素元なら、素因数分解はただ1通りになる。この証明では、素元の性質のほかに何を使ったかな？
うさ美
分解が必ず終わることと、片方が先になくならないことに、ノルムが 1 以上の整数で、掛け算を掛け算に移すことを使いました。あとは、0 でない数で両辺を割れることです。だから、ノルムがある世界なら、残る問題は「既約元がどれも素元か」だけです。
素因数分解の一意性：0 でも単数でもない数は既約元の積に分けられ、その分け方は、並べる順番と単数を掛ける違いを除いて1通り
分けられること：分けるたびにノルム（1 より大きい整数）が小さくなるので、必ず止まる
素元：0 でも単数でもなく、「p が ab を割り切るなら、p は a か b を割り切る」数。素元は既約元（p＝xy なら x＝pc として 1＝cy）
既約元がどれも素元なら：p₁…pr＝q₁…qs → p₁ はどれかの qj を割り切る → qj＝p₁×（単数） → 両辺を p₁ で割る → くり返す
→ 既約元がどれも素元なら、素因数分解はただ1通り
ねこ博士
その通り。逆に言えば、ある世界で素因数分解が崩れるのは、「既約元なのに、素元の性質をもたない数」がいるときだ。STAGE1 で見た a＋b√−5 の世界の 6＝2×3＝(1＋√−5)(1−√−5) を、この言葉で見てごらん。2 は (1＋√−5)(1−√−5) を割り切るかな？
うさ美
(1＋√−5)(1−√−5)＝6＝2×3 なので、2 は割り切ります。もし 2 が素元なら、2 は 1＋√−5 か 1−√−5 を割り切るはずです。でも (1＋√−5)÷2＝1/2＋(1/2)√−5 は、a, b が整数でないので、この世界の数ではありません。1−√−5 も同じです。だから、2 は素元ではありません。
ねこ博士
そう。2 が既約元であることは STAGE6 で確かめる。そうすると、2 は「既約元なのに素元でない」数になり、一意性が崩れる理由がはっきりする。では、整数の世界の素数は、なぜ素元なのか。その答えは、小学校からおなじみの余りのある割り算にある。次のステージで証明しよう。
【このステージの成果】
素因数分解の一意性：既約元の積への分け方は、並べる順番と単数を掛ける違いを除いて1通り（例：5＝(2＋i)(2−i)＝(1−2i)(1＋2i) は同じ分け方）
分解が必ず終わるのは、分けるたびにノルム（1 より大きい整数）が小さくなるから
「p が ab を割り切れば a か b を割り切る」は、一意性を知っていれば言えるが、一意性の証明に使うとぐるぐる回りになる
素元：p が ab を割り切るなら a か b を割り切る数。素元は既約元。6 は素元ではない（4×9＝36）
既約元がどれも素元なら、部品を1つずつ打ち消し合わせて、素因数分解はただ1通り。崩れるのは「既約元なのに素元でない数」がいるとき
確認クイズ
Q1. ガウス整数で 5＝(2＋i)(2−i)＝(1−2i)(1＋2i) となることは、一意性に反する？
正解！ 一意性は「順番と単数を掛ける違いを除いて1通り」という意味。−i(2＋i)＝−2i−i²＝1−2i、i(2−i)＝2i−i²＝1＋2i。
Q2. 6 が素元（p が ab を割り切れば a か b を割り切る数）でないことを示す例は？
正解！ 6＝2×3 の 2 が 4 に、3 が 9 に分かれて入るので、6 はまるごと片方を割り切れない。素元の性質はこのような分かれ方を許さない。
Q3. 既約元がどれも素元だと、なぜ一意性が言えるのか？
正解！ p₁ は右辺の積を割り切るので、素元の性質をくり返し使うとどれかの qj を割り切る。qj は既約元なので qj＝p₁×（単数）。両辺を p₁ で割ってくり返せば、2つの分け方は同じになる。