部品の掛け算

前のステージで、a＋b√−5 の世界には、どの数の倍数の集まりでもないイデアル（足し算・引き算で閉じ、世界の数を掛けても外に出ない数の集まり）A＝(2, 1＋√−5)＝{2x＋(1＋√−5)y} があると分かった。A は「2 と 1＋√−5 の最大公約数にあたる、数で書けない部品」だ。今日はこの部品どうしを掛け算できるようにして、6＝2×3＝(1＋√−5)(1−√−5) が実は同じ部品の組み合わせだったことを確かめる。これができれば、こわれた素因数分解の修理が完成する。まず、数の倍数の集まりどうしの掛け算から考えよう。整数の世界で、(2) の数と (3) の数を掛けると、どんな数ができるかな？

そう。ただ、一般のイデアルでは「積を集めただけ」では、足し算で閉じないことがある。そこで、こう決める。イデアル I と J の積 IJ は、「I の数と J の数の積」をいくつか足し合わせた数を全部集めたもの。こうすれば足し算・引き算で閉じるし、世界の数を掛けても外に出ないので、IJ もイデアルになる。数の倍数の集まりなら (a)(b)＝(ab) で、数の掛け算とぴったり合う。だから、イデアルの掛け算は数の掛け算を広げたものになっているんだ。A＝(2, 1＋√−5) のように2つの数から作ったイデアルどうしの掛け算は、どう計算すればいいかな？ (a₁, a₂) と (b₁, b₂) で考えてごらん。

そう。では A×A を計算しよう。A＝(2, 1＋√−5) だから、4つの積は 2×2, 2×(1＋√−5), (1＋√−5)×2, (1＋√−5)² だ。

そう。逆に、(2) が A×A に含まれることを示したい。そのためには何が言えればいいかな？

よく作ったね。「2＝A×A」、つまり 2 は数としてはもう分けられないけれど、部品のレベルでは A を2つ掛けたものだったんだ。次に、3 の部品を作ろう。B＝(3, 1＋√−5) と C＝(3, 1−√−5) だ。A が「a＋b が偶数の数」だったように、B は「a−b が 3 の倍数の数」、C は「a＋b が 3 の倍数の数」全体になる。B について、前のステージと同じように確かめてごらん。

そう。では残りの掛け算だ。A×B の4つの積を求めて、それが (1＋√−5) と同じイデアルになることを確かめてごらん。

そう。A×C の積は 2×3＝6、2(1−√−5)＝2−2√−5、(1＋√−5)×3＝3＋3√−5、(1＋√−5)(1−√−5)＝6 だ。3＋3√−5 は (1−√−5)(−2＋√−5) と書けるから、4つとも 1−√−5 の倍数になる。1−√−5 そのものは、6−(2−2√−5)−(3＋3√−5) で作れる。B×C はどうかな？

これで材料がそろった。イデアルの掛け算は、数の積を足し合わせたものだから、数の掛け算と同じように、順番を入れかえたり、まとめ方を変えたりしてもいい。6 の倍数の集まり (6) を、2通りに見てごらん。

そう。最後に、A, B, C がもうこれ以上分けられない部品で、しかも素元と同じ性質をもつことを確かめよう。2 がこわれていたのは、「積を割り切るのに、どちらの因数も割り切らない」からだった。A について、「xy が A に入るなら、x か y が A に入る」が言えれば、A は 2 のようにはこわれない。x＝a＋b√−5, y＝c＋d√−5 の積の a＋b にあたる数を計算してごらん。

その通り。こういうイデアルを素イデアルという。数の世界では 2 は素元の性質をもたなかったけれど、部品 A は素元の性質をもっている。そして、デデキントは1870年代に次のことを証明した。a＋b√−5 やガウス整数、ラメが使った 1 の p 乗根の世界のような「整数を広げた世界」では、0 でないどのイデアルも、素イデアルの積に、順番を除いてただ1通りに分けられる。これをデデキントの定理という。証明はこの章の道具だけでは長くなるので省くけれど、6 の例で見たとおり、数ではこわれた素因数分解が、部品のレベルでは元どおり1通りになるんだ。

いい質問だね。数で書ける部品をまとめて1種類と数え、「掛けて数になる相手が同じもの」を同じ種類と見ることにすると、a＋b√−5 の世界の部品は、ちょうど2種類に分かれる。数で書ける部品と、A の仲間だ。B も C も A の仲間で、たとえば B×B＝(2−√−5) と数になる。この種類の数を類数という。ガウス整数の世界は、余りのある割り算ができるから前のステージの最後の証明と同じ理由でどのイデアルも1つの数の倍数の集まりになり、類数は 1 だ。類数が 1 のとき、そしてそのときに限り、数の素因数分解がただ1通りになる。類数は「素因数分解がどれくらいこわれているか」を測る数なんだ。

そう。クンマーは1847年ごろ、類数そのものが 1 でなくても、類数が p で割り切れなければ、部品の考え方でラメの証明を修理できることを示した。そういう p を正則素数という。100 より小さい素数では、37, 59, 67 を除くすべてが正則素数で、クンマーはそれらすべてについてフェルマーの最終定理を証明した。けれど正則でない素数は無限にあることがのちに分かり、この方法では全部には届かなかった。最終的な証明は、1995年に発表されたワイルズの論文で、まったく別の方向からやってきた。その道のりは『フェルマーの最終定理、証明への道』で、群・環の言葉を使ってたどれるよ。

いいところに気づいたね。掛け算で群になるのは単数全体だ。単数どうしの積も単数で、どの単数にも掛けて 1 になる相手がいるからね。ガウス整数の単数 1, i, −1, −i は、掛け算で 90° ずつ回る群になる。mod n の世界の単数は、ax＋ny＝1 と書ける数、つまり n と互いに素な数で、第1章で RSA に使った掛け算の群そのものなんだ。では、この章のまとめだ。環という舞台を作り、単数・既約元・素元という言葉で「ただ1通り」のしくみを分解し、余りのある割り算がそれを支えていることを突き止めた。そして、こわれた世界をイデアルで修理した。次の第3章では、割り算までいつでもできる世界、体を主役にする。この章で作った ax＋py＝1 は、mod p の世界で割り算ができる理由にもなる。体を √ で少しずつ広げていくと、2000年以上解けなかった作図の問題、「角の三等分はできるか」に答えが出せるんだ。