体 ― 四則演算と作図

定規とコンパスでは角の三等分ができない。「できない」を証明するための道具、割り算までできる数の世界「体」を作る。

有理数に √2 を1つ足すと、どれだけ世界がひろがるか。a＋b√2 の形の数の体と、ひろがりを測る「次数」。

多項式も、整数と同じように余りのある割り算ができる。∛2 をみたすいちばん簡単な式から、ℚ(∛2) の大きさ（次数 3）を求める。

体を2段階でひろげると、次数は掛け算になる。作図の1手は √ を1つ足すだけ。だから作図できる数の次数は 1, 2, 4, 8, … のどれか。

∛2 も cos 20° も次数は 3。だから作図できない。2000年以上の謎に、体の次数で決着をつける。

正5角形は作図できて、正7角形はできない。19歳を前にしたガウスが正17角形の作図を見つけた理由を、体の次数で読み解く。

汚れた QR コードが読めるのは、有限個の数でできた体のおかげ。mod 7 の世界で、壊れたデータを見つけて直してみよう。