ガロア理論 ― 方程式の対称性

2次・3次・4次には解の公式があるのに、5次にはない。300年かかった謎の歴史と、ガロアが見つけた「解の入れ替え」という視点の入り口。

解をどう入れ替えても変わらない式は、解を知らなくても係数から計算できる。入れ替えで符号だけ変わる式に √ を1回使うと、2次方程式が解ける。

u＝α＋ωβ＋ω²γ の3乗は、解をどう入れ替えても2つの値しかとらない。この発見から、3次方程式の解の公式を自分の手で導く。

方程式の解の入れ替えのうち、有理数の計算では見分けられないものだけを集めると群になる。x³−2 では正三角形の対称性と同じ群が現れる。

√ を1つ加えると、ガロア群はどんな部分群に縮むのか。左右どちらからずらしても同じに分かれる部分群と、3次・4次方程式に解の公式がある理由。

a をして b をして、a を戻して b を戻す。この「交換子」で3つ組の巡回が作れるかどうかが、4次と5次の分かれ目だった。

x⁵−6x＋3＝0 の5つの解は、√ や ∛ をどう組み合わせても書けない。実数解の個数と複素共役から、ガロア群が5つの入れ替え全体になることを示す。